在中學數學教學中領悟數學之“美”

　　摘 要： 如何在中學數學教學中展現數學美，以及挖掘數學美，對于提高學生的數學學習能力具有重要作用。本文舉例介紹了數學的“對稱之美”、“簡潔之美”、“統一之美”和“奇異之美”，目的在于落實中學數學教學的數學美育教學功能，培養學生的數學審美意識，進一步提升學生的數學學習興趣。
　　關鍵詞： 中學數學教學 數學之美 數學美育
　　
　　數學是研究客觀世界的空間形式和數量關系的科學，它似乎給人以高度抽象、枯燥單調之感。其實不然，“數學家在創造活動中總有情感、意志、信念、希冀等審美因素，因此在數學的數字和公式中都蘊含豐富的審美內容。”古代的哲學家、數學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數，哪里就有美。”英國哲學家羅素也指出：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且擁有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷面嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱方面，這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的具有最大的藝術才能現實的完美的境界。”數學美是數學科學的本質力量的體現，是一種真實的美，它不僅有表現的形式美，而且有內容美與嚴謹美；不僅有具體的公式、定理美，而且有結構美和整體美；不僅有語言精巧美，而且有方法美與思路美；不僅有邏輯抽象美，而且有創造美與應用美。
　　在中學數學課堂中如何展現數學美，以及開掘數學美？如何培養學生對數學美的審美意識，提高學生鑒賞數學美、追求數學美的能力？探討以上問題，有利于在數學教學中真正把數學美育的功能切切實實地落實在中學數學的課堂上。
　　一、對稱之美
　　具有對稱性的東西，給人以圓滿的勻稱美感和精神享受。例如，人體、樹葉、房屋等很多物體都是對稱的。人們欣賞對稱的美，對稱也給人類生活帶來方便。對稱美在數學中隨處可見。例如：
　　（1）立體幾何中的正方體、長方體、正四面體、圓錐、圓臺、棱臺等都是對稱的幾何體。
　　（2）在解析幾何中，拋物線、雙曲線、圓、橢圓都是對稱的。還有，方程及ρ=asin3θ及ρ=acos3θ，ρ=asin2θ及ρ=acos2θ所表示的三葉玫瑰線、四葉玫瑰線也是對稱的。
　　（3）在代數中的互為反函數的圖像關于直線y=x對稱；奇函數的圖像關于原點對稱；偶函數的圖像關于y軸對稱，等等。
　　數學中的對稱不僅表現在幾何圖形上，在數學表達式中也大量存在。如二項式展開系數，即著名的楊輝三角就具有對稱性，三角形中恒等式、不等式也具有對稱性。
　　其實，數學中的對稱美不僅給我們帶來直觀上美的享受，而且把對稱美應用到解題中，有時候會大大地降低解題的難度。如，在等差數列的習題中有這樣一個題目：在等差數列{a}中，若a+a+a+a，則S=?搖?搖?搖。
　　分析：等差數列中存在對稱美：當i+j=m+n時，有a+a=a+a，由對稱性知：a+a=a+a=10，S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a）=10×10=100。通過對稱美的挖掘引導學生應用數學美，使學生從行之有效的數學方法和靈活巧妙的解題技巧中感受和發現數學美，并通過優化自己的解題方法和解題技巧來創造數學美。
　　二、簡潔之美
　　簡潔性是數學的特點，也是數學美的特征。在數學教學中，應該追求簡單美，顯現數學本質。數學的簡單之美表現在以下幾個方面。
　　1.數學語言是簡潔、精煉、準確的。
　　數學中的一個概念、一個定理、一個方程式和一個函數關系式，往往在形式上表現得極為簡潔，高度體現出數學的概括性，但是它們反過來可以解釋更多的現象，這正是我們數學的威力、美的體現。
　　如開普勒花勒十幾年的實踐獲得的行星運動第三定律：T=R（T是公轉周期，R是橢圓軌道長半軸）。
　　牛頓第二運動定律：F=ma
　　愛因斯坦的質能方程：E=mc
　　它們都簡明、精確、千錘百煉。
　　2.數學問題解決的簡潔性。
　　對于數學問題的解決，把復雜的形式轉化為最簡單的形式，使問題得以簡化，進而能夠利用簡單的方法達到解決問題的目的。這種以數學美的簡潔性為出發點，體現了思維的經濟化。如勾股定理的證明，從古到今，有370多種各具巧思的證明，這些證明都是以最短的途徑、最好的方式架設起通往人類心靈的智慧之橋。
　　三、統一之美
　　在數學中，表面上看來不相同的概念、定理、法則，在一定條件下，可以處在一個統一體中。平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理，都可以統一于圓冪定理中。
　　解析幾何中的圓、橢圓、雙曲線、拋物線都可以統一于圓錐曲線之中。
　　在三角函數的恒等變換中有“萬能置換公式”：
　　sinx=，cosx=，tanx=其中t=tan，利用這一公式可以將各種三角函數的有理式統一化為tan的代數式。
　　在集合論建立以后，代數中的“運算”，幾何中的“變換”，分析中的“函數”這三個不同領域的概念可以統一于“映射”概念之中。
　　數與形本是數學研究中的兩個獨立的對象，對它們的研究，分別構成了代數與幾何，然后通過坐標系的建立，使點與數建立了對應，從而把代數研究的對象與幾何研究的對象——方程與曲線聯系了起來，實現了統一。
　　再如歐氏幾何內容繁多，錯綜復雜，變化無窮，然而可以統一在五組公理之下。
　　另外，數學美的統一性還表現為數學方法的統一。
　　從數學發展的規律來看，數學的發展將日益證明數學的統一性。為了使龐大的數學體系變得簡單而精確，人們經常依據數學各領域的共性，提出統一數學各部分的新觀點、新理論和新方法。
　　四、奇異之美
　　奇異是數學美的重要體現。奇異性是指數學中原有的習慣法則和統一格局被新的事物（思想、理論、方法）所突破，或出乎意料、超乎想象的結果所帶來的新穎和奇特，往往會引起人們思想上的震動。奇異美和統一美之間是一種對應統一的關系，必須把這兩個相互對應的方面結合起來，以便在新的層次上達到更高的統一。
　　一個十分有趣的例子，蒲豐用投針求解圓周率π的近似值。1777年的一天，蒲豐突發奇想，把許多朋友都請到家中，做了一個令人感到奇怪的試驗。他把事先畫好的一條條具有等距離的平行線的白紙，鋪在桌子上，然后又拿出一大把質量均勻的、長度都是平行線的間距一半的小針，請客人們把這些小針一根一根地隨便放到紙上。而蒲豐則在一旁專注觀察并計數，共投2212次，其中與任一平行線相交的有704次，蒲豐又做了簡單除法：2212/704=3.142，然后宣布：“這就是圓周率π的近似值。”在當時，計算圓周率π是非常困難的，一般都是利用計算圓內切或外切正多邊形的邊長去逼近，而它竟然和一個表面看來風馬牛不相及的投針試驗結合在一起，豈不令人驚奇。這樣用偶然方法去做確定性計算，充分顯示了數學方法的奇異美。
　　數學的奇異美在數學的發展過程中體現得淋漓盡致。例如，在歐氏幾何占據統治的年代，非歐幾何的思想是“奇異”而“荒誕”得思想。雖說高斯在1816年左右就具有了非歐氏幾何得思想，但當時他也不敢公開這種奇異的想法。直到1826年俄國數學家羅巴切夫斯基才第一個公開地提出了非歐氏幾何理論——羅氏幾何。所以，奇異所造成得并不總是消極的影響，恰好相反，在它們中間常常孕育著新的巨大發展的可能性，體現了理論與思想的巨大創新與變革。
　　再比如說，再課本中有這樣的典型題：已知a、b、m∈R且a＜b，求證：＜。這個問題就是一個內涵非常豐富的問題。可從以下幾個問題進行延伸：
　　（1）在化學上，這個表示：在濃度的溶液中加入溶質m時，溶液的濃度會變大（所述的不等式“不論自明”）。
　　（2）在平面幾何中，與分別表示直線om與直線on的斜率，利用結論可以解決相應的問題。
　　（3）比較與的大小。
　　通過以上問題的深刻挖掘，讓學生逐步理解到數學的奇異美來源于現實世界，又將現實世界的數量關系進行“高度的抽象化”，從而具有廣泛的應用性。
　　數學是一個充滿著生氣的瑰麗多姿的世界，讓人類思維開出燦爛的花朵，是思維高原上的一座宏偉的殿堂。數學中的美的因素是多種多樣的，就像綠葉叢中的鮮花一樣，時時發出奪目的光彩。數學美隱藏在數學教材之中，所以要想在教學中體現出它的思想價值，需要教師有意識、有目的地挖掘、整理蘊涵于其中的數學美知識，師生一起作為審美主體對各種形式的數學美進行賞析并做出恰當的審美評價，引導學生學會鑒賞數學美、創造數學美，這是現代教育對數學教育提出的新課題。中學數學教師完全有能力充分利用現有條件，加強學習，積極利用數學美進行教學改革實驗，培養數學美對學生的審美意識，努力提高學生的綜合素質。
　　
　　參考文獻：
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