變系數時滯細胞神經網絡概周期解的存在性與全局吸引性

　　摘 要： 本文利用指數二分法、Banach不動點理論和一些不等式分析技巧，研究了一類變系數的時滯細胞神經網絡的概周期解的存在性與全局吸引性。在不要求激勵函數有界的條件下得到了時滯細胞神經網絡（DCNNS）的概周期解的存在性，唯一性和全局性吸引性的充分條件，所得結論對設計DCNNS概周期振蕩解具有重要意義。
　　關鍵詞： 細胞神經網絡 概周期解 全局吸引性 指數二分法 Banach不動點定理
　　1.模型的描述和準備
　　本文考慮如下變系數的時滯細胞網絡：
　　=-c（t）x（t）+a（t）f（x（t））+b（t）g（x（t-τ））+I，t≥0，i=1，2，…，n（1.1）
　　系統（1.1）可以改成下面的向量形式：
　　=-c（t）x（t）+A（t）f（x（t））+B（t）g（x（t-T））+I（t）（1.2）
　　在系統（1.1）和（1.2）中，n表示神經元的個數，x（t）是第i個神經元在t時刻的狀態.f，g表示神經元的激勵函數，均為連續函數，且滿足f（0）=g（0）=0，j=1，2，…，n.C（t）=diag（c（t），…，c（t）），…，c（t）＞0（i=1，2，…，n）是連續的概周期函數.a（t），b（t）分別表示t時刻和t-τ時刻神經元之間的連接權.τ表示外部輸入，τ≥0是傳遞時滯，且τ＝{τ}，a（t），b（t），I（t）和c（t）均為連續的概周期函數.對i，j=1，2，3，…，n，我們設：
　　c=c（t）＞0，I=|I|＜+∞，a=|a|＜+∞，b=|b|＜+∞.
　　定義1.1［２］ 設x（t）:R→R是連續函數，稱x（t）是R上的概周期函數.若對任給的ε＞0，存在l=l（ε）＞0，使得在每個長度為1的區間內總存在τ=τ（ε），使|x（t+τ）-x（t）|＜ε，對一切t∈R成立.
　　定義1.2 稱線性系統=Q（t）x（t），（1.3）
　　在R上具有指數二分性是指存在常數k，α＞0及投影p，使系統（1，3）的基解矩陣X（t），對任意的s，t∈R滿足：
　　|X（t）PX（s）|≤Ke（t≥s）
　　|X（t）（I-P）X（s）|≤Ke（t≤s）.
　　引理1.1［２］ 設線性系統（1，3）滿足指數二分性，則概周期系統
　　=Q（t）x（t）+f（t）（1.4）
　　存在唯一的概周期解ψ（t）=?蘩X（t）PX（s）f（s）ds-?蘩X（t）（I-P）X（s）f（s）ds
　　引理1.2［２］ 假設q（t）是一個概周期函數，并且：M［q］=?蘩q（s）ds＞0，i=1，2，…，n，則系統=diag（-q（t），…，-q（t））z（t）具有指數二分性.假設系統（1.1）的初始條件為：x（t）=φ（t），t∈［-τ，0］，i=1，2，…，n，其中φ（t）是連續的概周期函數.令cc（［-τ，0］，R），對任意的φ=（φ，φ，…，φ）∈C，我們定義范數：‖φ‖=|φ（θ）|.
　　下面，我們列出本文所要用到的一些假設：
　　（H1） 存在常數M＞0，N＞0（j=1，2，…，n），使：
　　|f（x）-f（y）|≤M|x-y|，
　　|g（x）-g（y）|≤N|x-y|，?坌x，y∈R
　　（H2） 存在一組正數d，d，…，d，使max{dd（aM+bN）}ρ＜1
　　2.主要定理及證明
　　對于任意的向量x（t）=（x（t），x（t），…，x（t）），定義范數：‖x（t）‖=|dx（t）|，其中d是（H2）中所有定義.設A={ψ（t）|ψ（t）=（ψ（t），ψ（t），…，ψ（t））}，其中ψ（t）是R→R上的連續概周期函數.對于任意的ψ（t）∈A，定義誘導模：‖φ‖=‖φ（t）‖，則（A，‖.‖）是一個banach空間.
　　定理2.1 設（H1），（H2）成立，且滿足
　　（H3） M［C］=?蘩c（s）ds＞0，i=1，2，…，n，則在|φ-φ|≤β，系統（1.1）存在唯一的概周期解.其中，β=g0gggggg，ψ（t）=［?蘩eI（s），…，?蘩eI（s）ds］.
　　證：對任意的φ（t）∈A，考慮非線性概周期微分方程
　　=-c（t）x（t）+a（t）f（φ（t））+b（t）g（φ（t-τ））+I（t），j=1，2，…，n（2.1）
　　因M［C］＞0，由引理1.2，線性系統=-c（t）x（t）在R上具有一種指數二分性.由引理1.1，系統（3.1）存在唯一的解x（t），且具有如下形式：
　　x（t）={?蘩e［a（s）f（ψ（s））+b（s）g（ψ（s-τ））+I（s）］，…，?蘩e［a（s）f（ψ（s））+b（s）g（ψ（s-τ））+I（s）］ds}
　　下面我們定義映射F:A→A F（φ）（t）=x（t），φ∈A
　　令 A={φ/φ∈A，‖φ-φ‖≤β}，
　　顯然A是A中的閉凸子集，于是有：
　　‖φ‖≤ {d?蘩|I（s）|eds}≤ {d ?蘩ceds}=β
　　所以對任意的φ∈A，有：
　　‖φ‖≤‖φ-φ‖+‖φ‖≤β+β=
　　下面，我們先證明映射F是A→A的自映射.事實上，對于任意的ψ∈A，有：
　　‖F（ψ）-ψ‖=‖F（ψ）（t）-ψ（t）‖
　　≤ {d?蘩e|d+bdNψ（s-τ）|ds}
　　≤ {d?蘩ed（aM+bd）ds‖ψ‖}
　　={dd（aM+bd）ds}‖ψ‖≤β
　　即F（ψ）∈A，因此，映射F是A→A的自映射.
　　其次，證明映射F是A上一個壓縮映射，事實上，由條件（H），（H），對于任意φ，ψ∈A，有‖F（ψ）-ψ‖=‖F（ψ）（t）-ψ（t）‖
　　≤{d?蘩eaf（?準（s））-f（ψ（s））+bg（?準（s-τ））-g（ψ（s-τ））ds}
　　≤ {d?蘩ed（adM|?準（s）-ψ（s）|+bdN|?準（s-τ）-ψ（s-τ）|）ds}
　　≤ {d?蘩ed（aM+bN）ds‖?準-ψ‖}
　　={dd（aM+bN）}‖?準-ψ‖=ρ‖?準-ψ‖
　　因0≤ρ≤1，顯然F是一個壓縮映射.
　　因此，由Banach不動點定理知，F有唯一的不動點ψ∈A，使Fψ=ψ，所以ψ（t）是系統（1.1）在A上的唯一概周期解.
　　令ψ（t）=（ψ（t），ψ（t），…，ψ（t））是（1.1）唯一的概周期解，x（t）=（x（t），x（t），…，x（t））是系統（1.1）的任意解，則有：
　　=-c（t）x（t）+a（t）f（x（t））+b（t）g（x（t-τ））+I（t），
　　=-c（t）ψ（t）+a（t）f（ψ（t））+b（t）g（ψ（t-τ））+I（t）
　　令y（t）=x（t）-ψ（t），F（y（t））=f（x（t）-f（ψ（t）））
　　 G（y（t-τ））=g（x（t-τ））-g（ψ（t-τ））
　　 Φ（t）=φ（t）-ψ（t），（i，j=1，2，3，…，n）
　　則可得到下面的系統：
　　=-c（t）y（t）+a（t）F（y（t）） +b（t）G（y（t-τ）），t≥0，y（t）=Φ（t），t∈［-τ，0］
　　顯然，系統（1.1）的概周期解的全局吸引性與系統（2.2）的零解的全局吸引性是等價的，為此我們下面僅考慮（2.2）零解的全局吸引性.
　　定理2.2 假設條件（H），（H）成立，則對于任意的Φ∈C，有
　　‖y（t）‖≤‖Φ‖，?坌t≥0
　　證：對（2.2）使常數變易公式，可得：
　　d|y（t）|≤ed|Φ（0）|+?蘩ed（aM|y（s）|+bN|y（s-τ）|）ds（2.4）
　　
　　對任意的Φ∈τ，令D=‖Φ‖＞0，為了證明（2.3），我們首先要證明對任意的h＞1，有：
　　‖y（t）‖＜hD，?坌t≥0（2.5）
　　如果（2.5）不成立，則存在t＞０，得‖y（t）‖=hD，‖y（t）‖≤hD，t∈［0，t］
　　因此由（2.4），則有：
　　hD=‖y（t）‖={d|y（t）|}≤{e‖Φ‖}+?蘩edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds}≤{e+?蘩ceds}dd（aM+bN）}hD={e+（1-e）ρ}hD＜hD
　　顯然，這是矛盾的，所以（2.5）成立，令h→1，則（2.3）成立.特別地，系統（2.2）的解是一致有界的.
　　定理2.3 設（H），（H）成立，則系統（2.2）的平衡點是全局吸引的，從而系統（1.1）的概周期解是全局吸引的.
　　證：對任意的Φ∈C，由定理（2.2）的證明知：
　　‖y（t）‖≤D，?坌≥0（2.6）
　　因此存在常數σ≥0，使sup‖z（t）‖=σ（2.7）
　　假設σ>0，則由上極限的定義，對于任意小的常數ε>0，存在t≥0，使當t≥t時，有：
　　‖y（t）‖≤（1+ε）σ，‖y（t-τ）‖≤（1+ε）σ（2.8）
　　因為c>0，所以對上面的ε>0，d和D，存在T>0，使當t≥T，有：
　　?蘩edd（aM+bN）Dds≤ε，i=1，2，…，n（2.9）
　　于是由（2.4）和（2.6）→（2.9），當t≥t+T，有：
　　d|y（t）|≤edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds
　　≤eD+?蘩edd（aM+bN）Dds+?蘩edd（aM‖y（s）‖+bN‖y（s-τ）‖）ds
　　≤eD+?蘩edd（aM+bN）Dds+?蘩edsdd（aM+bN）（1+ε）σ
　　≤eD+ε+（1-e）dd（aM+bN）（1+ε）σ
　　因此，‖y（t）‖={d|y（t）|}
　　≤{eD+ε+（1-e）ρ（1+ε）}
　　≤{eD+ρ（1+ε）}
　　令t→+∞，ε→0，那么，σ≤ρσ，因此ρ＞1，和（H）矛盾，因此σ≡0.
　　
　　參考文獻：
　　［1］L.Q.Chua and L.Yang，Cellular neural networks:Theory and application，IEEE Transactions on Circuits and Sydtems，35，1257-1272，1988.
　　［2］何崇佑.概周期微分方程.高等教育出版社，北京：1992.