高等數學中的樣例教學

　　摘 要： 本文給出了作者從數學學習心理學角度對高等數學中樣例的思考，提出學生記住和掌握一個例題，就能掌握并靈活運用一系列數學概念和工具的樣題選取原則，從而使得學生在高等數學中學習到的概念、方法和思想有了依附點，不至于概念到概念、推理到推理，讓學生覺得學到的概念和方法，看得見、摸得著，進而學得更穩固扎實。
　　關鍵詞： 高等數學 樣例教學 選取原則
　　
　　一、引言
　　中國文藝有樣板戲，例如《紅燈記》、《沙家浜》、《智取威虎山》，等等。這些作品運用中國傳統和外國藝術形式來表現戲劇的主題，這些樣板戲經電影、電視、廣播反復播放，在這樣一種文藝熏陶下，“窮人的孩子早當家”、“渾身是膽雄赳赳、打不盡豺狼決不下戰場”、“智斗、定能戰勝頑敵渡難關”、“娘子軍連連歌、軍民團結一家親”這樣一些場景和表達出的思想為當時的人們所熟知，連不熟悉戲曲的男女老少都能哼唱幾句。撇開樣板戲，作為重要基礎課程的高等數學，它所引入的許多概念、方法如果能通過選取的樣板例題來傳遞，讓學生通過反復學習和研摩樣板例，來體會數學思想，靈活運用數學概念和方法，那么樣板例題選取的研究工作就是有意義的。
　　二、選取準則
　　從心理學角度來說，教師提供給學生的新材料知識如果缺乏潛在的意義，即新知識與學生認識結構中的有關知識無法建立空質的聯系，原有知識不能同化新知識，而獲得明確而穩定的意義，而只是靠死記硬背獲得知識；或者學習者缺乏積極主動學習心向，而處在被動狀態；那么所學材料與學習者認識結構中原有的觀念的適當部分只是建立起了暫時的、生硬的、表面的聯系，所學習的知識很快就會被學習者遺忘。另外，在教學內容的選擇上，如果教師提供給學生的新材料知識缺乏潛在的意義和遷移的生成能力，那么學生往往就不能有效地加以消化和理解，以達到融會貫通。綜合上面的考慮，本文就高等數學樣例教學上提出來如下的選取準則并給出相應的樣例加以說明。
　　1.能將所學許多概念和方法“串”起來的樣例。
　　人們的思維活動是從問題開始的，如果教師能通過樣例引入問題，分析問題，并在這個過程中引入或復習已學過的概念、方法，以最終解決問題，那么學生在圍繞解決問題的過程來學習或復習概念和方法，就會學得自然、牢靠。
　　例如，物理上光的折射定律表述如下［１］：一束光從點A（0，y），y＞0出發經過界面y=0到達B（x，y），x＞0，y＜0。設光在介質1（y＞0）和介質2（y＜0）中速度分別為v，v。
　　證明：折射定律=等價于光以最短的時間從點A到達點B，其中α，β分別是入射角和折射角，進而從數學角度上說明光傳波的特性：按用時最短的路徑傳波。
　　分析與解答：設光線與界面＄y=0＄的交點為變量x，則從A到B需要的時間為
　　t（x）=+，x∈（-∞，+∞）。
　　該例給出如何建立函數模型，將所研究的問題轉化為數學問題一個范例。運用連續函數介值性定理和函數的嚴格單調性證明了極值點存在和唯一性。該例研究函數的最小值是一個全局問題，將其歸結為±∞的局部性質（極限）、極值點候選點存在性、極值點判定等研究，這是一個將全局問題轉化為局部問題研究的范例。該例題中學生可以體會到極限的應用，導數在研究函數單調性上應用，可導極值點的必要條件，函數連續性在零點存在性問題上應用。
　　學生熟練掌握該例就能對極限、連續性、導數、最值問題求解步驟有個感性的認識。
　　類似地，從物理、化學、生物或其他工程技術鄰域提出典型樣例幫助理解和掌握高等數學中概念和方法的做法，以及從數學角度來理解一些大自然最優規律很有意義。
　　2.能幫助理解和記憶抽象概念、性質，實現從具體到抽象的過渡的樣例。
　　高等數學中定積分及其性質比較抽象，學生掌握起來較難，這時可以選取一個具體的例子加以講解，來幫助學生來理解和掌握這些性質。高等數學中定積分就是一維長度向平面區域面積的推廣，定積分存在與否實際是與平面區域面積是否有定義密切相關的。那么定積分存在被積函數具有什么特征呢？
　　例如Rimanne函數R（x）=1/q，x=p/q∈（0，1），p，q互質0，x=0，1，或為［0，1］中無理數。通過Riemanne函數，學生可以更好認識可積函數的性質：了解一個可積函數可以有很多（可數個）不連續點，但是它仍可以在［0，1］上可積。除此之外，通過Riemanne函數還可以了解如下的可積函數性質。
　　（1）函數的可積性是一個整體性質：f（x）在區間［0，1］上可積，這時可以改變可數個點處f（x）函數值的定義，則所得新函數仍是可積的且函數的積分值不變。設f（x）≥0，x∈［a，b］且在［a，b］上可積，則?蘩f（x）dx≥0。現在問題是進一步如果存在點x∈［a，b］有f（x）＞0，問是否一定有?蘩f（x）dx＞0？考察黎曼函數R（x），容易知道R（x）在［0，1］上非負且在（0，1）上有理點取正值，盡管取R（x）＞0的點有可數多個，但是仍有?蘩R（x）dx=0。對R（x）＞0的點進行研究發現，這些點一個共同點都是R（x）的不連續點。于是，一個自然問題就是：設f（x）在［a，b］上非負且可積，如果在x∈［a，b］處連續且f（x）＞0，則是否一定有?蘩f（x）dx＞0？回答是肯定的。該例可以引導學生思考對積分值做出影響的是函數定義域中的哪些點或哪些子集。
　　（2）變限積分函數的可導性：由［1，2］知道如下結論：f（x）在［a，b］上可積，則F（x）=ff（t）dt，x∈［a，b］是連續函數；進一步，若f（x）在x∈［a，b］處連續，則變限積分函數F（x）在點x處可導，且F′（x）=f（x）。一個自然問題出來了，若f（x）在［a，b］上可積，且在x∈［a，b］處不連續，則F（x）是否一定不可導呢？回答是否定的。考慮Riemanne函數，則由積分單調性知0≤G（x）=?蘩R（t）dt≤?蘩R（t）dt=0，于是G（x）當然在［0，1］處處可導。高等數學中一些重要的函數形式就是由變限積分定義的函數，例如lnx=?蘩dt，arcsinx=?蘩dt，除此之外，還有單擺運行周期的函數就是一個由變限積分函數t=?蘩dθ就是一個由變限積分函數。因此借助于黎曼函數來理解對這類函數連續性、單調性、可導性等性質當然是很有意義的。
　　3.了解問題的來龍去脈并為新課程開啟大門的樣例。
　　現在使用的教材中大部分對冪級數和微分方程的關系都放在習題之中，通常是讓學生驗證某一冪級數是方程的解。如果教師能先通過一個簡單微分方程的冪級數解的求解過程，導出冪級數，再來研究冪級數的性質，那么這個過程會使得學生感覺冪級數性質研究是有迫切需要的，也是有意思的。
　　考察Airy方程［3］y″=xy，x、y∈R的解，其中y″=。
　　分析與解答：可設方程有冪級數解y=ax。對y進行逐項微分，并調整求和指標，再由冪級數的唯一性，就得到下面的遞推公式（n+2）（n+1）a=a，n=0，1，2，…。
　　故得到原方程的冪級數解為
　　y=a［1+］+a［x+］，其中a，a為任意常數。
　　由［2］知，若a≥0且a=0，則=0。易驗證上述冪級數解中=0，=0，=0，再由數列極限與子列極限關系知，=0。因此，由冪級數收斂半徑的根式判別法知，方程解的定義域為（-∞，+∞）。
　　該例可以使得學生對冪級數收斂半徑及其性質研究意義有了切實體會，并對數學分析中函數的來源有了了解，并提高學生對后繼微分方程課程的學習興趣，以及對以后碰到特殊函數有了感性認識。
　　三、結語
　　通過教學實踐和與學生的交流，我體會到一個好的教學樣例可以更好地幫助學生了解和掌握高等數學中的基本概念、工具，使之學得扎實牢靠。本文給出的幾個樣例的選取原則意在拋磚引玉，不斷思考如何用適當選取的樣例來將所教學的知識串起來，讓學生好學、好記、好用，提高他們的學習興趣，并拓寬他們的眼界和思路。
　　
　　參考文獻：
　　［1］歐陽光中，姚允龍.數學分析（上、下冊）.上海：復旦大學出版社，1993.
　　［2］華東師范大學數學系.數學分析.北京：高等教育出版社，2001.
　　［3］丁同仁，李承治.常微分方程教程.北京：高等教育出版社，2002.