根植教

　　摘 要： 作者通過(guò)對(duì)一個(gè)來(lái)自課本例題的基本圖形的認(rèn)識(shí)、分析、思考，訓(xùn)練學(xué)生識(shí)別圖形，利用基本圖形的條件和結(jié)論，將一類復(fù)雜圖形問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)抓住問(wèn)題的本質(zhì)，防止解題中無(wú)關(guān)信息的干擾，從而提高學(xué)生的思維水平，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果。
　　關(guān)鍵詞： 提煉 識(shí)別 創(chuàng)造 拓展 應(yīng)用
　　
　　基本圖形具有廣闊的拓展空間，在歷年的中考試題中，根植于基本圖形的試題屢見(jiàn)不鮮，題型囊括了選擇、填空及解答題.在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重視基本圖形的挖掘、探究，這樣有助于更好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
　　現(xiàn)就蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判斷”的例6中提煉的一個(gè)基本圖形，談?wù)勗摶緢D形及其變式在中考試題中的應(yīng)用.
　　一、提煉基本圖形
　　蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判斷”例6：
　　已知：如圖，E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，AF、BG、CH、DE分別相交于點(diǎn)A′、B′、C′、D′.
　　求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.
　　拓展延伸：
　　（1）若點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，則四邊形A′B′C′D′還是正方形嗎？證明你的結(jié)論.
　　（2）若點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，則四邊形EFGH是正方形嗎？證明你的結(jié)論.
　　從例6及對(duì)它的拓展與延伸中，我們不難發(fā)現(xiàn)，證題過(guò)程都要用到如下兩個(gè)三角形全等，來(lái)實(shí)現(xiàn)證角等和線段等.
　　這樣兩個(gè)全等的三角形都滿足“兩個(gè)直角三角形斜邊互相垂直或?qū)?yīng)直角邊互相垂直”，當(dāng)對(duì)應(yīng)邊不相等時(shí)，這樣的兩個(gè)三角形相似.像這樣“站著的和躺著的兩個(gè)相似三角形”稱為基本圖形，在近幾年的中考題中，涌出了一大批運(yùn)用該基本圖形及其變式圖形編制的構(gòu)思巧妙、立意新穎的考題.
　　二、識(shí)別基本圖形
　　例：（2010年紹興）（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.
　　（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長(zhǎng).
　　圖1 圖2
　　（3）已知點(diǎn)E、H、F、G分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：
　　①如圖3，矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng)；
　　②如圖4，矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng)（用n的代數(shù)式表示）.
　　 圖3圖4
　　解析：本題初看比起例6是沒(méi)有頭緒，但是我們做過(guò)了例6，并記住了由它所提煉出的基本圖形，那么我們就可以利用基本圖形來(lái)解了，這樣由此及彼地尋找解題途徑，通過(guò)對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)和理解，馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)本題的解法.第（1）小問(wèn)中學(xué)生能直接發(fā)現(xiàn)基本圖形，通過(guò)證△ABE≌△BCF就把問(wèn)題解決了；第（2）小問(wèn)中沒(méi)有基本圖形，命題者的巧妙構(gòu)思就在于此，受（1）的啟發(fā)，學(xué)生可以把線段EF和GH分別平移到B和A的位置（如圖5），就出現(xiàn)（1）的結(jié)構(gòu)，從而問(wèn)題可解；在對(duì)圖2處理的基礎(chǔ)上解決（3）、（4）兩問(wèn)，就迎刃而解了.
　　復(fù)雜的圖形中要能識(shí)別出基本圖形，并分解圖形，當(dāng)然，對(duì)于簡(jiǎn)單圖形，只要一眼識(shí)別出是基本圖形就可以直接應(yīng)用.
　　三、構(gòu)造基本圖形
　　有些考題，表面上不能直接找到該基本圖形，根據(jù)圖形特征，通過(guò)適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造出該基本圖形，這樣就能應(yīng)用基本圖形解決問(wèn)題了.
　　例1.（2010年咸寧）如圖，已知直線l∥l∥l∥l，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則sina=?搖?搖?搖?搖.
　　解析：?jiǎn)栴}要求銳角三角函數(shù)值，自然要把銳角放在直角三角中，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的位置很特別，聯(lián)想到例6是以正方形為背景提煉出的基本圖形，不妨作如下嘗試.
　　圖1 圖2 圖3
　　輔助線的添加是根據(jù)基本圖形及本題的特征而作的，以上解法都能使問(wèn)題順利解決.
　　例2.（2010年衢州）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長(zhǎng)為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（?搖）.
　　A.y=x?搖?搖?搖?搖 B.y=x?搖?搖?搖?搖
　　C.y=x?搖?搖?搖D.y=x
　　解析：按常規(guī)，四邊形的面積y是左右兩個(gè)三角形面積的和，即y=AC?BC+AC?DE，DE為△ACD中AC邊上的高（如圖）.這樣，很自然地就構(gòu)造出了基本圖形：△ACB≌△DEA，AE=BC，DE=AC，設(shè)BC=k，則AE=k，AC=4k，EC=3k，在Rt△DEC中，DC=5k=x，用x的代數(shù)式表示相關(guān)線段，這樣y=?4k?（k+4k）=?20k=10k=10?（）x=（）x，故選擇C.
　　許多形式各異的幾何圖形，它們都有著內(nèi)在的聯(lián)系，具有相同或相似的基本圖形.當(dāng)遇到自己感覺(jué)生疏的圖形時(shí)，應(yīng)該冷靜思考，認(rèn)真尋找與之接近的熟悉題型.從題目的相通或相同點(diǎn)切入，聯(lián)想與自己熟悉的基本圖形是不是存在聯(lián)系，最終使問(wèn)題得以解決.
　　四、拓展基本圖形
　　有的時(shí)候我們也會(huì)對(duì)基本圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣梗淹卣购蟮膱D形也叫做基本圖形.例如，下圖中的兩個(gè)三角形，當(dāng)∠B=∠C=∠AFG≠90°時(shí)，也有△ABF∽△FCG，即“站著和躺著的兩個(gè)相似三角形”.像這樣拓展以后的基本圖形，在中考試題中的應(yīng)用也是層出不窮的.
　　例：（2009年太原）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4，∠B=45°.直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F.若為△ABE等腰三角形，則CF的長(zhǎng)等于?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解析：?jiǎn)栴}是求線段的長(zhǎng)度，按常規(guī)思路，聯(lián)想到成比例線段，聯(lián)想到相似三角形，把CF放在可能相似的三角形中，使已知線段和要求線段成為三角形的邊即可.通過(guò)等腰梯形ABCD的性質(zhì)可知，∠B=∠C=∠AEF=45°，符合基本圖形的條件，從而△ABE∽△ECF，故=，易知AB=3，BE+CE=4，再根據(jù)△ABE為等腰三角形，分①AE=BE，②AB=BE，③AB=AE三種情況討論，也就是間接告訴我們，比例式中各個(gè)量之間的關(guān)系，問(wèn)題也就不難解決了.
　　解題時(shí)，要善于抓住問(wèn)題的特點(diǎn)，充分利用基本圖形來(lái)分析問(wèn)題，運(yùn)用基本圖形對(duì)解題的啟示和簡(jiǎn)化功能總會(huì)出奇制勝.
　　五、綜合應(yīng)用基本圖形
　　基本圖形為尋找相似三角形提供了方便，通過(guò)分析題意，抓住問(wèn)題本質(zhì)，把學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本圖形“套”進(jìn)去，化繁為簡(jiǎn)，在提高解題速度和準(zhǔn)確率方面，能達(dá)到事半功倍的效果.
　　例：如圖，在矩形ABCD中，由8個(gè)面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖所示放置，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解析：本題求矩形ABCD的周長(zhǎng)相當(dāng)于求2（AB+BC），根據(jù)圖形的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)圖形中有兩個(gè)基本圖形，△ABE≌△ECF、△ECF∽△FDG，從而有，AB=EC，BE，EF=2GF，故EC=2DF，即AB=2DF=CD，所以AB=EC=2FC，再根據(jù)勾股定理：EC+CF+=4，得AB=EC=，BE=CF=，所以矩形ABCD的周長(zhǎng)為8.
　　在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘、提煉、總結(jié)出一些具有廣泛的代表性和典型性的圖形，并能讓學(xué)生掌握這些圖形的性質(zhì)和特點(diǎn)，在一些比較復(fù)雜的題目中，能辨認(rèn)出，或者構(gòu)造出，再根據(jù)基本圖形的性質(zhì)，擇取有用的信息和結(jié)論，迅速地找到證題思路、方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用基本圖形的習(xí)慣，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生思維水平和創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.