擺動法測定物體轉動慣量實驗中擺動角度對測量的影響

　　摘 要： 作者根據實際測量數據，分析在擺動法測定物體轉動慣量實驗中，物體擺動角度對擺動周期、扭轉常數、轉動慣量的影響，認為周期與扭轉常數與擺動角度有關，如果各直接測量量都是在同一角度下測得，則轉動慣量實驗值與物體擺角沒有直接關系。
　　關鍵詞： 擺動法 轉動慣量 擺角 周期 扭轉常數
　　
　　在力學實驗“擺動法測定物體轉動慣量”中，學生常被要求使物體擺動的角度在一定范圍內（90°左右），不宜變化太大，理由是扭擺螺旋彈簧的扭轉常數值會隨著擺動角度的不同而不同，從而影響轉動慣量的測量結果。究竟物體的擺動角度會對那些重要的物理量及測量結果產生什么樣的影響呢？下面我將通過實際測量做出分析。
　　1.擺動法測量物體轉動慣量的原理
　　在擺動法測量物體轉動慣量實驗中，由胡克定律可知，扭擺上螺旋彈簧因扭轉而產生的恢復力矩M與彈簧所轉過的角度θ成正比，即：
　　M=-Kθ（1）
　　式中，K為螺旋彈簧的扭轉常數。又由轉動定律
　　M=Iβ（2）
　　式中I為物體繞轉軸的轉動慣量，β為角加速度。由式（1）和（2）得:
　　β=-θ（3）
　　令ω=，忽略軸承的摩擦阻力矩，由式（3）可得：
　　β==-ωθ（4）
　　上述方程表示扭擺運動具有角簡諧振動的特性，角加速度與角位移成正比，且方向相反。此方程的解為：
　　T==2π（5）
　　即轉動慣量
　　I=（6）
　　由式（6）可知，若能夠測得螺旋彈簧的扭轉常數K及物體的擺動周期T，則物體轉動慣量可求。本實驗中，物體扭擺運動的周期T可由光電傳感裝置直接測量。
　　2.扭轉常數K的獲取方法
　　在扭擺的垂直軸上安裝一個規則形狀的金屬圓盤，并測出其擺動的周期T，由式（6）可知，金屬圓盤的轉動慣量：
　　I=（7）
　　在圓盤中再放入一個直徑與金屬圓盤內徑相同的圓柱體標準件，測出它們共同擺動的周期T，則二者組合體共同的轉動慣量為：
　　I=（8）
　　由式（7）和（8）可得，圓柱體的轉動慣量：
　　I=I-I=（9）
　　則：
　　K=（10）
　　對于形狀規則的圓柱體標準件，如果測得了其質量及幾何尺寸，即可求得其轉動慣量的理論值I′，用I′代替實驗值I，在擺動周期T、T可以測得的情況下，螺旋彈簧的扭轉常數K由此可以求得，即：
　　K=（11）
　　3.實驗測試及數據分析
　　3.1測定物體擺動周期T、螺旋彈簧的扭轉常數K與扭轉角度θ之間的變化關系。
　　測量出圓柱體標準件的質量m和直徑D，求出圓柱體標準件轉動慣量的理論值I′。
　　I′=mD=8.9391×10kg?m
　　利用光電傳感裝置，分別測出金屬圓盤、金屬圓盤與圓柱體的組合體在擺角θ=30°—180°間擺動時的周期T和T各10組數值。由所測數據和式（11）求出各角度下扭擺的扭轉常數K及金屬圓盤的轉動慣量I，如表1所示。
　　由表1數據關系可以分析出，物體的擺動周期與其擺動角度有關，在合理擺動范圍內，物體擺動角度越大，周期也越大。螺旋彈簧的扭轉常數K與擺動角度有關，在90°時K值達到最大。
　　3.2測定金屬圓筒的轉動慣量I的誤差量與物體擺動角度之間的關系。
　　取一個金屬圓筒，其外徑與圓盤的內徑相同。測量金屬圓筒的質量m和其內徑D、外徑D，求出其轉動慣量的理論值：
　　I′=m（D+D）=1.6229×10kg?m（12）
　　將金屬圓筒放入金屬圓盤中，測出它們的組合體在擺角=30°—180°間變化時的周期T。金屬圓筒的轉動慣量實驗值I。
　　I=-I（13）
　　其中金屬圓盤的轉動慣量I由式（7）求得，K、T、I均為在同一擺角下的測量量。
　　計算I與理論值I′比較的百分誤差E：
　　E=×100%（14）
　　所測及算得數據，如表2所示。
　　分析表2數據可以分析出：雖然物體擺動周期T仍然與擺動角度有關，但物體轉動慣量T與擺動角度θ之間、相對誤差E與擺動角度θ之間沒有確定關系。如果算式中涉及各量都是在同一擺角下測得，則間接算出的物體的轉動慣量與擺角大小無關，轉動慣量實驗值與理論值比較的相對誤差也與擺角大小無關。
　　由此，在教學過程中，教師不必一味強調擺角必須保持90°不變，只要求學生所測得的各量在同一角度下測得即可，結果并不會受到影響。
　　
　　參考文獻：
　　［1］丁慎訓，張連芳.物理實驗教程（第二版）［M］.北京：清華大學出版社，2003，9：27-31.
　　［2］楊俊才，何焰藍.大學物理實驗［M］.北京：機械工業出版社，2004，7：305-310.
　　［3］張兆奎.大學物理實驗［M］.北京：高等教育出版社，2003，5：119-122.
　　［4］鄒紅玉，鄭紅平.扭擺法測定物體轉動慣量中光電門擺放位置的探究［J］.物理實驗，2009，Vol29，（6）.