利用數列的構造求極限

　　摘 要： 本文基于對數列結構的研究基礎上，討論了求數列極限的幾種典型方法.
　　關鍵詞： 數列結構 數列極限 求解方法
　　
　　一、問題的提出
　　在某些數列的極限問題中，往往已知數列各項間的一些遞推關系式.這時要仔細分析這些關系式，大致把握數列的一些性質，采用合適的方法來解決.本文在研究數列結構研究的基礎上，討論了求數列極限的幾種典型方法.
　　二、一些結果
　　定理1（托布尼茲定理）若數列S=at滿足（1）a≥0，n∈N，K=1，2，…，n；（2）a=1，n∈N；（3）a=0，k∈N；（4）t=t，則S=t.
　　推論（斯托茲定理）（1）若數列{y}嚴格增大，且無界；（2）=L，則數列{}=L.
　　定理2（壓縮映射原理）設函數f（x）滿足（1）-∞＜a≤f（x）≤b＜+∞，（a≤x≤b）；（2）|f（x）-f（y）|≤k|x-y|，（0＜k＜1，x，y∈［a，b］）.設x∈［a，b］，并定義序列{x}：x=f（x），n=1，2，…，則x=x存在，且x=f（x）.
　　定理3（單調有界原理）單調有界數列必有極限.
　　三、具體應用
　　1.斯托茲定理
　　例1:計算（α＞0）
　　解：令y=n，x=1+2+…+n則由α＞0，故數列{y}嚴格單調增無界，由斯托茲定理有：===.
　　2.壓縮映射原理
　　例2：按下列方式定義一個正數列：任取x＞0，并使x=（n=0，1，2，…），證明這個序列收斂并求極限值.
　　證明：顯然有0＜x＜1 （n=1，2，…）.由于
　　x-x=-=
　　數列{x}不是單調數列.但我們據此有
　　|x-x|=|x-x|.
　　因為，函數f（x）=在［0，1］上的最大值是，從而有
　　|x-x|≤|x-x|.
　　由此對任意的m＞n，有
　　|x-x|≤|x-x|+…+|x-x|≤（）|x-x|+…+（）|x-x|≤（）［1++…+（）］［x-x］＜（）|x-x|→0
　　由柯西收斂原理知{x}收斂.
　　記
　　x=x，
　　則有
　　x=，
　　x=.
　　在不能先證明極限是否存在時，直接通過取極限將遞推式化為代數方程，先得出極限的可能值，往往是有益的.它能給你提供新的解題思路.
　　例3：設x=2，x=2+，…，x=2+，…，求證：x存在，并求其值.
　　證明：顯然，可以看出x＞2且{x}不具有單調性.
　　若x=A存在，則必有A=2+，從而A=1+.據此，我們直接從定義出發(fā)證明{x}的極限存在并且就是A.因為
　　|x-A|=|（2+）-（2+）|=|-|=＜
　　＜＜…＜=→0（n→+∞）
　　所以
　　x=A（存在）.
　　3.單調有界原理
　　證明極限存在的一個重要方法是利用“單調有界數列必有極限”這一原理.考察數列單調性的主要手段是研究項差x-x的正負性質.
　　例4：設x＞0，x=（n≥1），試證x=a存在，并求a的值.
　　解：顯然，對一切n有x＞0，進而可看出x＜4，即{x}是有界序列.由
　　x-x=（4-）-（4-）=
　　知x-x與x-x有相同的正負性，即{x}是有界序列.所以x=a存在，且滿足方程
　　a=.
　　解得a=2.
　　例5：f（x）=cosx+cosx+…+cosx，求證：
　　（A）對任意自然數n，方程f（x）=1在［0，）內有且僅有一個根；
　　（B）設x∈［0，）是f（x）=1的根，則x=.
　　證明：（A）因為f（0）=n≥1，
　　f（）=++…+=1-＜1，
　　由連續(xù)函數的介值性知f（x）=1在［0，）內至少有一個根.而因為
　　f′（x）=-sinx［1+2cosx+…+ncosx］＜0，
　　導致f（x）在［0，）內單調下降.所以f（x）=1在［0，）內僅有一個根.
　　（B）因為f（x）=f（x）+cosx=1+cosx＞1，
　　所以x＞x，即{x}是單調上升有上界的序列.極限x=x存在，且x≤.同時，由于x≤x，所以
　　f（x）≤f（x）≤1，
　　即有
　　≤1.
　　令n→∞，可得
　　cosx≤，
　　即得x≥，所以x=.
　　
　　參考文獻：
　　［1］龔冬保.高等數學典型題［M］.西安：西安交通大學出版社，2004.
　　［2］劉玉璉等.數學分析講義（第四版）［M］.高等教育出版社，2003.