愚人節問題不愚人

　　下面給出的這道趣味數學題是由加拿大艾伯塔大學的數學家里奧·莫賽爾專為愚人節所作.這樣的提示似乎很明顯，那就是大家不要被這則問題嚇倒，其中定然暗含玄機．
　　數學家設計的問題是：下面是一個28位數，中間有10個空缺的位置，如果請你在空位中填上數字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且每個數字只能使用一次，那么得到的這些28位數是396的倍數的可能性是多少？
　　5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76
　　乍一看，這的確是個嚇人的問題.因為在10個空位上填上0～9，共有10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800種情況，也就是說，會得到三百多萬個不同的28位數，要驗證如此多的數能否被396整除，需要試驗篩選的次數是難以想象的.既然這龐大的28位數難以下手，那么不妨換個方向思考，研究已知條件中出現的另一個數字396.通常情況下，我們應該從分解396的因數入手，稍加試驗可得396＝4×9×11，這樣問題就得到了轉化：一個數要是396的倍數，必須同時是4的倍數、9的倍數和11的倍數.有了這樣的判斷，探索的思路頓時開闊了許多．
　　根據“數的整除特征”，一個數是4的倍數，那么這個數的最后兩位組成的數是4的倍數；一個數是9的倍數，那么這個數的所有數字之和是9的倍數；一個數是11的倍數，那么這個數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差是11的倍數.這也就是說，396的倍數必須同時滿足：末兩位是4的倍數，所有的數字之和是9的倍數，奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差是11的倍數.有了這個針對性的結論，就立刻有了探求的目標．
　　觀察第一步可知，5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76這個28位數的末兩位為76，是4的倍數，所以不管如何填空，可斷定它是4的倍數；第二步計算可知，28位數中已知的所有數位的數字之和是5+3+8+3+8+2+9+3+6+5+8+2+0+3+9+3+7+6kgW2mVKL5t7NvT69SVxs8gzyKfULeuYl3ly7V1bTQ/E=＝90，是9的倍數，而空位上的數字之和肯定是0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，也是9的倍數，那么可以斷定，無論空位上0～9的順序如何，所有的28位數都是9的倍數；第三步仍然是簡單的計算，5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76奇數位上的數字之和是5+3+3+8+2+9+6+5+8+2+
　　3+9+3+7＝73，偶數位上除了空位之外的數字之和是8+3+0+6=17，而所有的10個空位都出現在偶數位上，也就是說，這10個空位的數字之和45也應該加在17上，即偶數位上的數字之和是45+17=62，可以看出，73-62＝11，即奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差也是11的倍數．
　　至此，玄機顯露.原來不管空位上的0～9如何填寫，得到的所有28位數統統都是396的倍數，它們形式各異卻個性相同，細細品味，則有 “另辟蹊徑則曲徑通幽，峰回路轉則柳暗花明”的妙趣.由此看來，這種“不走尋常路”的策略，值得回味和反思!