共軛復數的性質在初等幾何問題中的應用

　　摘 要： 本文通過總結共軛復數的性質，將其運用于幾何問題，給出了初等幾何證明的新方法。
　　關鍵詞： 共軛復數 復平面 幾何意義
　　
　　復數是中學數學中重要的內容，共軛復數在中學數學中只提到概念，而對于性質則沒有涉及，然而共軛復數及其性質卻在證明初等幾何問題中有廣泛的應用.本文就利用共軛復數及其性質來證明初等幾何中的一些問題.
　　共軛復數中，設z=x+iy，則z的共軛復數為=x-iy，顯然||=z， Arg=-Argz（其中Argz表示復數z的輻角）.在復平面上，z與兩點是關于實軸的對稱點.性質［１］如下：
　　（1）=z， =±
　　（2） =，=（z≠0）
　　（3）|z|=z， Rez=，Imz=
　　（4）設R（a， b， c， …）表示對于復數a， b， c， …的任一有理運算，則：
　　R（a， b， c， …）=R（， ， ， …）.
　　例1.設z及z是兩個復數，試證：|z+z|=|z|+|z|+2Re（z），并應用此等式證明三角不等式|z+z|≤|z|+|z|.
　　證明：∵|z+z|=（z+z）（）=（z+z）（+）
　　=z+z+z+z=|z|+|z|+（z+z）
　　=|z|+|z|+2Re（z）
　　∴等式成立.
　　∵|z+z|=|z|+|z|+2Re（z），且Re（z）≤|z|=|z||z|.
　　|z|+|z|+2Re（z）≤|z|+|z|+2|z|=|z|+|z|+2|zz|
　　＝（|z|+|z|）.
　　∴|z+z|≤|z|+|z|（等式中等號成立的條件是向量z，z同向）.
　　例2.證明：|z+z|+|z-z|=2（|z|+|z|），并說明其幾何意義.
　　證明：對任意復數z，由性質（3）知|z|=z，則：
　　|z+z|+|z-z|=（z+z）（）+（z-z）（）
　　=（z+z）（）+（z-z）（）
　　=（z+z+z+z）+（z+z-z-z）
　　=2（z+z）=2（|z|+|z|）
　　即|z+z|+|z-z|=2（|z|+|z|）成立.
　　幾何意義：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于它的一組鄰邊和的2倍.
　　例3［２］.若β為單位圓內點，α為復平面上點，證明：＝1，當|α|=1<1，當|α|>1，當|α|>1，并說明其幾何意義.
　　證明：（1）當|α|=1時，由α≠β得，＝=＝=1
　　（2）當|α|<1時，由|α-β|=（α-β）（-）=|α|+|β|－（β-α）
　　＝|α|+|β|-2Re（β）
　　且|1-β|=（1-β）（1-α）＝1+|α||β|－2Re（β）得，
　　|1-β|-|α-β|=1+|α|β-|α|-|β|=（1-|α|）（1-|β|）
　　∵|α|<1， |β|<1∴|1-β|-|α-β|>0，即<1
　　（3）當|α|>1時，同（2）知|1-β|-|α-β|<0，即>1
　　等式的幾何意義：當β為單位圓內點，α分別為單位圓上，單位圓內和單位圓外點時，對應的點z=分別在單位圓上、圓內和圓外.
　　例4.試證：兩向量（z=x+iy）與（z=x+iy）互相垂直的充要條件是z+z=0.
　　證明：∵⊥∴|z-z|=|z|+|z|
　　則|z-z|=（z-z）（）=z+z-z-z
　　=|z|+|z|-（z+z）
　　由以上兩式可得：z+z=0
　　例5.設z，z，z滿足條件z+z+z=0及|z|=|z|=|z|=1，試證z，z，z是一個內接于單位圓周的|z|=1的正三角形的頂點.
　　證明：由題意知，點z，z，z在單位圓|z|=1上，要想證z，z，z是一個內接于單位圓周的正三角形，只需證|z-z|=|z-z|=|z-z|=.
　　∵z+z+z=0∴|z+z|=|-z|=1
　　∴|z+z|=（z+z）（）=（z+z）（+）=z+z+z+z
　　=|z|+|z|+（z+z）=2+（z+z）
　　則z+z=|z+z|-2=-1
　　∵|z-z|=（z-z）（）=（z-z）（-z）=z+z-z-z
　　=|z|+|z|-（z+z）
　　∴|z-z|=2-（-1）=3，即|z-z|=
　　同理可得：|z-z|=|z-z|=
　　綜上可得，命題成立.
　　
　　參考文獻：
　　［1］鐘玉泉.復變函數論［M］.北京:高等教育出版社，2004.
　　［2］孫清華，孫昊著.復變函數內容.方法與技巧［M］.武漢：華中科技大學出版社，2003.7.
　　
　　基金項目：安康學院大學生科技創新項目（項目編號：2010AKXYDXSO1）
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”