全局著

　　《導數(shù)及其應用》是大學教材的下放內(nèi)容，而無論是在導數(shù)概念的學習中，還是導數(shù)應用，導數(shù)的幾何意義都是一個極其重要的部分。這個知識點也是各種練習考試中的熱點，因此我在設計導數(shù)及其應用的章節(jié)復習中，特意設計了這樣一個模塊——導數(shù)幾何意義的應用，以便使學生更有針對性地復習。課堂實錄如下：
　　師：我們通過學習發(fā)現(xiàn)導數(shù)幾何意義的應用是這章內(nèi)容中的重點，也是熱門考點，首先來復習這一知識點。問題1：導數(shù)的幾何意義是什么？
　　生：曲線y=f（x）在x=x處的切線的斜率，即k=f′（x）。
　　師：問題2：那么該點處的切線方程是什么？
　　生：切線方程為y-f（x）=f′（x）（x-x）。
　　（通過學生對于知識點的再次陳述，強化導數(shù)的幾何意義。）
　　師：我們經(jīng)常遇到利用導數(shù)幾何意義求解曲線的切線方程，有沒有什么特別要大家注意的地方？
　　（設置開放性的問題，讓學生分散思索，再整體把握，有利于復習歸納。）
　　生：利用導數(shù)求切線過點P的切線方程，要注意判斷點P是否在直線上。
　　師：非常好！這個已知點的位置很重要，請看復習題：
　　已知曲線f（x）=x+，（1）求曲線在x=2處的切線方程;（2）求曲線過點（2，4）的切線方程。
　　師：第一問中的點是什么點？（切點）
　　師：應如何求解呢？
　　生：先求在x=2處的導數(shù)f′（2）=4，即切線的斜率。然后將x=2代入方程求出切點（2，4）。用點斜式可以寫出切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0。
　　師：很好。思路清晰，那么求曲線已知切點的切線方程沒問題了。請再看問題３，（2）中“曲線過點”，這個點是切點嗎？
　　生：不一定，要看它是否在曲線上。
　　師：好，那驗證點是否在直線上。這個點在曲線上就一定是切點嗎？
　　生：也不一定。也可能是曲線另一點處的切線與曲線的交點。
　　師：問題4：我們不是學習過曲線與直線相切就可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的Δ=0，也就是只有一個交點嗎？（學生遲疑，顯然問題觸動思考）
　　生：那是圓，橢圓，雙曲線……
　　師：是的。我們發(fā)現(xiàn)曲線為二次曲線時，曲線與直線相切交點只有一個，而一般曲線呢？你能用圖示給大家舉個例子嗎？
　　生：y=x（第一象限曲線某點處的切線與曲線第三象限圖像仍有交點）。
　　師：好的。那該如何解答呢？（引發(fā)學生回歸題目）要求切線方程，要有斜率，也就是切點處的導數(shù)。
　　生：可以先設切點為x， x+，切線斜率f′（x）=x，而切點x， x+就在切線上，點斜式寫出切線方程。
　　師：接著呢？
　　生：可以把點（2，4）代入方程，求出。
　　師：很好，因點（2，4）在切線上，自然也滿足切線方程，那么帶入后就得到一個一元三次方程。
　　（老師板書：切線方程為y=xx-x+，因為點（2，4）在切線上，所以4=2x-x+，即x-3x+4=0。）
　　師：一元三次方程在這部分的解題中我們也經(jīng)常遇到。應如何求解呢？我們可以采用配系數(shù)的方法，可以將二次項-3x拆成-4x和x。
　　（教師板書：所以x（x+1）-4（x-1）（x+1）=0，即（x+1）（x-2）=0，解得x=-1或x=2，故所求切線方程為4x+y-4=0或x-y+2=0。）
　　師：通過完成該題，你復習了那些內(nèi)容，掌握了哪些技巧？
　　（通過又一個開放性問題，引導學生進行反思，從而自覺提煉出知識精髓和常見方法）
　　生：求切線一定要分清“在”還是“過”某點的切線”。
　　生：解決“過某點處的切線”先設切點（x，y），然后求切線斜率，寫切線方程，再講已知某點代入求出切點坐標、斜率，就可以求切線方程了。
　　生：現(xiàn)階段解一元三次方程可以用配系數(shù)的方法來做。
　　師：是的。以上是對于解題上的一些常見方法或技巧進行的總結(jié)，還有嗎？
　　生：澄清我們的一個常見錯誤，認為曲線與切線只有一個交點，實際上，我們常見的圓，橢圓等是這樣的，其他一般曲線未必是這樣的。
　　師：很好。
　　（再利用PPT總結(jié)，幫助學生梳理強化知識）
　　課后反思：
　　這是復習課上的一瞥，通過這個專題模塊復習，我進行了如下總結(jié)。
　　1.復習要有全局性
　　復習是針對某一段時間或某幾章節(jié)的梳理及深化，新課的知識點是零散的，難成體系的，而復習的目的就是將整節(jié)整章乃至更多的內(nèi)容從零碎的點整合成一個較為完整的體系。因此，復習不應只做前期教學的簡單重復，而要將知識點串成線，線串成面，讓學生高屋建瓴地把握知識的結(jié)構(gòu)，前后的聯(lián)系，從而達到提綱挈領(lǐng)的效果。
　　2.復習要有針對性
　　既然復習不是簡單羅列和重復，那么在詳略上就應當有所取舍，顯然教學的重點應在復習中充分體現(xiàn)，如本節(jié)中“利用導數(shù)集合意義求切線方程”這當然就是本章中的一個重要內(nèi)容，而從第1小問中，不難發(fā)現(xiàn)學生對于這一重點掌握情況相對較好，教師就不應作太多贅述。而第2小問的類型是學生易發(fā)生錯誤的地方，當然教師就要充分讓其出錯，然后訂正深化總結(jié)，因此復習應有針對性，針對學生易錯的，易混淆的內(nèi)容講、練，使復習更加務實。
　　3.復習要有開放性
　　復習課應是學生回顧深化知識技能的過程，因此主動權(quán)應在學生手中。本節(jié)課我多次設計“你覺得應注意什么”，“你想到了什么”，“你學到了什么”這樣的問題，問題提得開放，有利于學生思考，且是發(fā)散的思考，使得學生自主全面地回顧前后知識，自主總結(jié)解題的技巧，真正讓學生動起來，這樣才能達到好的復習效果。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”