矩陣初等變換在《線性代數(shù)》中的應(yīng)用

　　摘 要： 矩陣初等變換在處理線性代數(shù)的有關(guān)問題時(shí)具有一定的獨(dú)特作用。本文總結(jié)了初等變換在求逆矩陣、矩陣的秩、向量組的秩，求解線性方程組，以及標(biāo)準(zhǔn)正交基等問題中的應(yīng)用。
　　關(guān)鍵詞： 矩陣初等變換 矩陣的逆 向量組的秩
　　
　　矩陣初等變換起源于解線性方程組，是研究矩陣的一個(gè)非常重要的工具.除線性方程組外，還有大量各種各樣的問題提出了矩陣的概念，并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同的，表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)成矩陣問題后卻是相同的.這就使得矩陣成為數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的應(yīng)用廣泛的概念，因而也就使矩陣成為代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個(gè)主要的研究對(duì)象.利用初等變換將矩陣A化為形狀簡單的矩陣B，通過B來探討A的某些性質(zhì)，是研究矩陣的常用方法.
　　矩陣的行（列）初等變換包括三種：1.交換矩陣的兩行（列），簡稱為位置變換；2.將矩陣的某行（列）乘以一個(gè)非零常數(shù)，簡稱為倍法變換；3.矩陣的某行（列）加上另一行（列）的非零常數(shù)倍，簡稱為消法變換.根據(jù)變換的是行還是列分別叫初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換.
　　一、求逆矩陣
　　因?yàn)槿N初等變換都不會(huì)改變一個(gè)方陣A的行列式的非零性，所以如果一個(gè)矩陣是方陣，我們可以通過看初等變換后的矩陣是否可逆來判斷原矩陣是否可逆.將矩陣A和單位矩陣E拼成一個(gè)n行2n列的矩陣（A，E）=a a … a 10… 0a a … a 01… 0… … … … … … … …a a … a 00… 1，對(duì)矩陣（A，E）施行初等變換，當(dāng)矩陣（A，E）的左半部分化為單位矩陣E時(shí)，右半部分就化為A.注意在用初等變換的方法求逆矩陣時(shí)必須是初等行變換，不能是初等列變換.另一種用伴隨矩陣求逆矩陣的方法計(jì)算量較大且容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，相比之下用初等變換求逆矩陣的方法更為簡單實(shí)用.
　　二、解矩陣方程
　　1.易知AX=B型的矩陣方程解為X=AB，又A（A，B）＝（E，AB）即對(duì)矩陣（A，B）作初等行變換，當(dāng)把A化為E時(shí)，B就化為AB.
　　2.易知XA=B型的矩陣方程解為X=BA，又ABA=EBA即對(duì)矩陣AB作一系列初等列變換，當(dāng)把A化為E時(shí)，B就化為BA.
　　三、求矩陣的秩、向量組的秩、極大線性無關(guān)組
　　把矩陣用初等行變換變成行階梯型矩陣，行階梯型矩陣中非零行的行數(shù)即為該矩陣的秩.向量組的秩即該向量組極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，而矩陣的秩等于其行向量的秩，也等于其列向量的秩，所以求向量組的秩即求矩陣的秩.
　　例：求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組、秩.
　　α=（2，1，4，3），α=（-1，1，-6，6），α=（-1，-2，2，-9），α=（1，1，-2，7），α=（2，4，4，9）解：
　　（α，α，α，α，α）=2 -1 -1 1 211-2 1 44 -62 -2 43 6 -9 7 911-21 401-11 000 0 1-300 0 0 0故α，α，α為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，原向量組的秩為3.
　　四、求解線性方程組
　　把線性方程組的增廣矩陣化為行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解.若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其解.
　　例：討論線性方程組x+x+2x+3x=1x+3x+6x+x=33x-x-px+15x=3x-5x-10x+12x=t當(dāng)p，t取何值時(shí)，方程組無解？有唯一解？有無窮多解?在方程組有無窮多解的情況下，求出一般解.
　　解：B=1 12311 36133 -1 -p 15 31 -5 -10 12 t11 2 3 101 2-1100-p+22 40003t+5
　　（1）當(dāng)p≠2時(shí)，R（A）=R（B）=4，方程組有唯一解;
　　（2）當(dāng)P=2時(shí)，有B1 1 2 3 10 1 2 -1 10 0 0 2 40 0 0 3 t+511231012-11000 12000 0 t-1.
　　當(dāng)t≠1時(shí)，R（A）=3＜R（B）=4，方程組無解;
　　當(dāng)t=1時(shí)，R（A）=R（B）=3，方程組有無窮多解，且B1 0 0 0 -80 1 2 030 0 0 120 0 0 00與原方程組同解的方程組為
　　x=-8x+2x=3x=2.令x=k，故原方程組的通解為xxxx+k 0-2 1 0+-8 3 0 2.
　　五、求標(biāo)準(zhǔn)正交基
　　利用Schmidt方法，可以從歐氏空間的任意一個(gè)基出發(fā)，求出一個(gè)正交基，再單位化，求出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.但正交化的過程計(jì)算繁瑣.其實(shí)利用矩陣的初等變換，也可以從歐氏空間的任意一個(gè)基求標(biāo)準(zhǔn)正交基.
　　本文介紹了矩陣的初等變換在求矩陣的逆，矩陣的秩，向量組的秩，向量組的極大線性無關(guān)組、解線性方程組等問題中的應(yīng)用，并給出了部分例子.實(shí)質(zhì)上，利用矩陣的初等變換還可以得到解決求過渡矩陣、特征值與特征向量、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型等問題的有效方法.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（2版）.北京：高等教育出版社，1998.
　　［3］劉顯鳳.矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用.科技信息，2010.
　　［4］倪臣敏，孫遜.矩陣的初等變換在《線性代數(shù)》中的應(yīng)用.四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”