淺議初中數(shù)學(xué)中“設(shè)而不求”的解題技巧

　　摘 要： 本文介紹了初中數(shù)學(xué)中“設(shè)而不求”的解題技巧，具體有以下四種：比較化簡(jiǎn)中“設(shè)而不求”，分式方程中“設(shè)而不求”，幾何求證中“設(shè)而不求”，問(wèn)題轉(zhuǎn)化中“設(shè)而不求”。
　　關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 設(shè)而不求 解題技巧
　　
　　“設(shè)而不求”是特殊解題方法之一，也屬常規(guī)解題技巧.在解題中可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易，下面歸納的幾個(gè)方面是初中數(shù)學(xué)中常遇的，也是中學(xué)教學(xué)大綱要求掌握的.
　　一、比較化簡(jiǎn)中“設(shè)而不求”
　　在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體題目選擇解題方法的能力，對(duì)一些無(wú)法用常規(guī)方法解答的題目，就不能用常規(guī)方法反復(fù)嘗試，更不能束手無(wú)策，而要考慮用特殊方法來(lái)解答.
　　例1：比較368972/764797與368975/764804的大小.
　　分析：因?yàn)槭浅踔袛?shù)學(xué)題，不可能用通分的方法解答，我們可以通過(guò)368975與368972相差3和764804與764797相差7來(lái)建立關(guān)系，尋找解題的突破口.
　　解：設(shè)368972/764797=a/b，則368975/764804=（a+3）/（b+7），
　　由a/b-（a+3）/（b+7）=（7a-3b）/b（b+7），
　　因?yàn)?a-3b＞0，b（b+7）＞0，
　　所以（7a-3b）/b（b+7）＞0，
　　即有a/b-（a+3）/（b+7）＞0，
　　從而有368972/764797＞368975/764804.
　　此題如果按照常規(guī)思路去思考，就很難得出正確的結(jié)果，考試時(shí)會(huì)將學(xué)生引入死胡同，耽誤考試時(shí)間，影響其他題目的解答.
　　例2：化簡(jiǎn)+
　　解：令=a，=b（a＞0，b＞0），則a+b=8，ab=1，
　　所以（a+b）=10，原式=a+b=.
　　這種類型的題目很多.如：化簡(jiǎn)（1）：+，化簡(jiǎn)（2）：等，與例1不同的是這類題目有個(gè)非常明顯的特點(diǎn)是：代數(shù)式中有兩數(shù)的平方和與兩數(shù)的積都是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù).
　　二、分式方程中“設(shè)而不求”
　　設(shè)而不求在解較復(fù)雜的分式方程應(yīng)用較多，解此類題目，要引導(dǎo)學(xué)生在許多不同之中尋找相同，然后再用一個(gè)字母代替一個(gè)代數(shù)式，從而起到化簡(jiǎn)解題步驟，降低解題難度的作用.
　　例3：解方程++=0
　　分析：仔細(xì)觀察，便會(huì)發(fā)現(xiàn)，分式的分母中均有x+6，如將其用一個(gè)字母替換，題目便會(huì)迎刃而解.
　　解:可設(shè)x+6=y，原方程變形為++=0.
　　去分母并整理得y-49x=0，所以y+7x=0或y-7x=0，
　　即x+7x+6=0或x-7x+6=0，得x=-1，x=-6，x=1，x=6.
　　經(jīng)檢驗(yàn)x、x、x、x都是原方程的解.
　　例4：解方程：+=+
　　分析：顯然與和與互為倒數(shù)關(guān)系，因此有如下解法：
　　設(shè)=u，=v，
　　原方程變?yōu)閡+v=+，
　　去分母整理后得（u+v）（uv-1）=0，有u+v=0或uv=1，
　　即+=0或×=1，
　　解得x=，x=0，x=5.
　　經(jīng)檢驗(yàn)x、x、x都是方程的解.
　　例4較例3更容易發(fā)現(xiàn)題目的規(guī)律，學(xué)生要掌握解題技巧，必須要有能準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律的能力，必須從對(duì)題目整體感知訓(xùn)練起步.要求學(xué)生一見(jiàn)題目，就能判斷出是否可用特殊方法解答.
　　三、幾何求證中“設(shè)而不求”
　　幾何證明時(shí)，有時(shí)也可用引進(jìn)代數(shù)知識(shí)，但用代數(shù)知識(shí)解答幾何問(wèn)題，就能使原來(lái)的證明題變得簡(jiǎn)單，如果運(yùn)用這一技巧就能達(dá)到降低題目難度的效果，使題目順利得到解答，學(xué)生容易接受.
　　例5：如圖，如果在一直線上順次有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，求證：AD×BC+AB×CD=AC×BD.
　　 A B C D
　　?搖 ?搖.?搖 ?搖.?搖 ?搖.?搖 ?搖.?搖?搖
　　證明：設(shè)AB=a，BC=b，CD=c，
　　則AD×BC+AB×CD=（a+b+c）×b+ac
　　=ab+b+bc+ac=b（a+b）+c（a+b）
　　=（a+b）（b+c）=AC×BD.
　　這里所設(shè)線段的長(zhǎng)度在計(jì)算中很好地起了橋梁作用.如果不用此方法，或許問(wèn)題也能解決，但會(huì)付出較大的精力.
　　在幾何題目中，有一類是純計(jì)算的，如求三角形的面積.解題中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)要單獨(dú)分別求出底和高，往往比較難，但求出底與高的積會(huì)很容易，而知道底與高的積，三角形面積也就求出來(lái)了，直接代入公式，便是一條可行的捷徑.
　　例6：直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為1，周長(zhǎng)為2+，求其面積.
　　解：斜邊上中線的長(zhǎng)為1，故斜邊長(zhǎng)為2，又三角形的周長(zhǎng)為2+，則兩直角邊的和為，設(shè)兩直角邊為a、b，則有a+b=4①，a+b=②.
　　②-①得2ab=2，所以ab=1，s=ab=.
　　題目解答后，教師要學(xué)生關(guān)注，a+b；a+b；ab是一組有緊密聯(lián)系的關(guān)系式，掌握它們的聯(lián)系規(guī)則，也有利于同一類型題目的解答.
　　四、問(wèn)題轉(zhuǎn)化中“設(shè)而不求”
　　問(wèn)題轉(zhuǎn)化，就是尋找出知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)，把較復(fù)雜的問(wèn)題化為簡(jiǎn)單易解的問(wèn)題，解這樣題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到用字母代替什么樣的代數(shù)式.
　　例7：已知方程x-11x+（30+R）=0的兩根比5大，求實(shí)數(shù)R的范圍.
　　解：設(shè)y=x-5，則x=y+5，原方程轉(zhuǎn)化為y-y+R=0.
　　由x＞5得y＞0，即方程y-y+R=0有兩正根.
　　故由：（-1）-4R≥0和R＞0，解得0＜R≤1/4.
　　例8：m為實(shí)數(shù)，方程5x-12x+4+m=0，若有一根大于2，另一根小于2，求m的取值范圍.解法與例5相似.
　　比較例5和例6可用看出，x系數(shù)是否是1對(duì)解答題目沒(méi)有影響，主要看其根的情況.根大于幾，就將x設(shè)為y加幾，然后看是否能將原方程轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的一元二次方程.
　　數(shù)學(xué)的解題方法與技巧，是在數(shù)學(xué)訓(xùn)練中逐步形成的，要掌握解題技巧就要在多做典型題目的基礎(chǔ)上，不斷總結(jié)與發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的研究的深入，教師要深入研究數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，分析數(shù)學(xué)不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握解題的基本功.提高解題技巧，有助于教師業(yè)務(wù)水平和教學(xué)能力的提高，更有助于人才的培養(yǎng)和教學(xué)質(zhì)量的提高.