例談三角恒等變換中的“變角”技巧及其應用

　　三角恒等變換是高中數(shù)學的重要內容之一，歷年的高考都有所涉及.三角恒等變換的常用方法包括化弦、化切、變角、生冪、降冪、和積互化等，其中“變角”既是三角恒等變換中的關鍵，又是學生學習的一個難點.在實際應用中，我們常需要將角做適當變換，配出有關角，便于連接已知角與未知角之間的關系，因此尋找角與角之間的關系是解題的切入點.下面通過對例題的講解來強化“變角”的技巧及其應用.
　　一、探究“變角”技巧
　　例1：已知cos（α+β）=，cosβ=，α，β均為銳角，求sinβ.
　　分析：把角α看成是角α+β與β的差，即α=α+β-β，再用兩角差的正弦公式求解.
　　解：由角α，β均是銳角，可知0°＜α+β＜180°，sinβ＞0，sin（α+β）＞0，
　　由cos（α+β）=，得sin（α+β）===，
　　由cosβ=，得sinβ===，
　　所以sinα=sin［（α+β）-β］=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=×-×=.
　　例2：已知tan（α+β）=，tanβ-=，求tanα+.
　　分析：借助于已知條件，直接運用兩角和與差的正切公式可以算出，再利用兩角和的正切公式可以得到結果，但計算量大且比較繁瑣.實際上，可以把角α+看成是角α+β與β-的差，即α+=α+β-β-，再用兩角差的正切公式求解.
　　解：因為tan（α+β）=，tanβ-=，
　　所以tanα+=tan（α+β）-β-?搖
　　=
　　==.
　　小結：由上述兩例，我們發(fā)現(xiàn)第一種變角技巧——“將結論中的角用條件中的角來直接表示”.
　　例3：已知3sinβ=sin（2α+β），且α≠，α+β≠+kπ，（k∈Z），求證：tan（α+β）=2tanα.
　　分析：要想從條件推出結論，就應使已知條件中出現(xiàn)結論中的α+β與α，因此想到β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，再用恒等變換變形即可.
　　解：因為sinβ=sin［（α+β）-α］=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
　　sin（2α+β）=sin［（α+β）+α］=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
　　所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
　　即sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.
　　又因為α≠，α+β≠+kπ，（k∈Z）
　　所以cosα≠0，cos（α+β）≠0.
　　所以等式兩邊同除cos（α+β）?cosα，可得tan（α+β）=2tanα.
　　例4：已知sinα=nsin（α+β），且|n|＞1，α+β≠+kπ，（k∈Z），求證：tan（α+β）=.
　　分析：要想從條件推出結論，就應使已知條件中出現(xiàn)結論中的α+β與β，因此想到α=（α+β）-β，再用恒等變換變形即可.
　　解：因為sinα=sin［（α＋β）-β］=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
　　所以sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=nsin（α+β），
　　即sin（α+β）cos（β-n）=cos（α+β）sinβ，
　　又因為|n|＞1，α+β≠+kπ，（k∈Z）
　　所以cos（α+β）≠0，cosβ-n≠0，
　　所以等式兩邊同除cos（α+β）?（cosβ-n），可得tan（α+β）=.
　　小結：上述兩例我們用到了“變角”的第二種技巧——“將條件中的角用結論中的角來直接表示”，這一技巧適用于一些恒等式的證明.
　　例5：求的值
　　分析：式中出現(xiàn)了7°，15°，8°三個角，觀察式子的結構，不難發(fā)現(xiàn)要將7°表示為15°-8°，消除角的差異或減少不同角的個數(shù).
　　解：原式=
　　 =
　　 ==tan15°=2-
　　例6：求證：-2cos（α+β）=.
　　分析：將等式中的角統(tǒng)一用α+β與β來表示，以消除角的差異，再用恒等變換變形即可.
　　證：左邊=
　　 =
　　 =
　　 ===右邊
　　所以-2cos（α+β）=.
　　例7：已知△ABC為斜三角形，求證：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC.
　　分析：待證式與兩角和與差的正切公式比較都含有正切的和與積因此考慮運用兩角和與差的正切公式，另外可以運用A+B+C=π來得到A+B=π-C，借此消除角的差異，再用恒等變換變形即可.
　　證：在斜三角形△ABC中，有A+B+C=π，即A+B=π-C，且A，B，A+B都不等于，所以有tan（A+B）=tan（π-C），即=-tanC，
　　即tanA+tanB=-tanC+tanA?tanB?tanC，
　　所以tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC.
　　小結：上述三例我們用到了“變角”的第三種技巧——“將條件中的一些角用另外一些角表示”，該技巧可以消除角的差異，是三角恒等變換中的一個重要思路.尤其要合理利用三角形的內角和等于帶來的“變角”機會.
　　例8：求的值
　　分析：注意到10°+20°=30°，從而可以將10°表示為30°-20°，將待求式中的角統(tǒng)一用20°來表示，消除角的差異.
　　解：原式=
　　 =
　　 =
　　 ==
　　例9：求的值
　　分析：注意到1=tan45°，從而構造45°與15°兩角和的正切公式.
　　解：因為tan45°=1，所以原式==tan（45°+15°）=tan60°=.
　　小結：上述兩例我們用到了“變角”的第四種技巧——“找特殊角來幫忙”，該技巧適用于角的和差為特殊角的情形，也是三角恒等變換中的一個重要思路.
　　二、“變角”技巧的簡單應用
　　練習：
　　1.（2011浙江理6）已知0＜α＜，?鄄＜β＜0，cos（-）=，則cos（α+）=（）
　　A. B.- C. D.-
　　提示：α+=+α-（-β）
　　（答案：D）
　　2.（2011遼寧理7）設sin（+θ）=，則sin2θ=（）
　　A.-B.-C. D.
　　提示：sin2θ=-cos（+2θ）=-cos2（+θ）=1-2sin（+θ）(答案：A）
　　3.（2011重慶理14）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），則=?搖?搖.
　　提示：==-=-2cos（α-）
　　由sinα=+cosα可得，sinα-cosα=，即sin（α-）=.
　　（答案：-）
　　4.（2011湖北理3）已知函數(shù)f（x）=sinx-cosx，x∈R，若 f（x）≥1，則x的取值范圍（）
　　A.{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}
　　B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}
　　C.{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}
　　D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}
　　提示：f（x）=sinx-cosx=sin（x-）
　　（答案：B）