三角形內角和定理的應用

　　三角形內角和定理是“三角形的內角和等于180°”．它在幾何解題和證題中有著廣泛的應用，現舉例如下.
　　一、利用三角形內角和定理證明“三角形的外角與它不相鄰的兩個內角和”
　　如圖1所示，延長三角形的三條邊，由三角形一條邊及另一條邊的延長線所成的角稱為該三角形的一個外角．如圖1中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．由于∠1+∠ABC=180°（平角），
　　又∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
　　所以∠1=∠BAC+∠BCA．
　　同法可證∠3=∠BAC+∠ABC，
　　∠5=∠ABC+∠ACB．
　　二、利用三角形內角和定理證明n邊形的內角和等于（n-2）×180°
　　如圖2所示，以n邊形AA…A的某一個頂點（如A）為共同頂點，將這個n邊形“分割成”n-2個三角形△AAA，△AAA，…，△AAA．由于每一個三角形的內角和等于180°，所以這n-2個三角形的內角和（即n邊形的內角和）為（n-2）×180°.
　　三、利用三角形內角和定理巧解有關幾何選擇題
　　例1．△ABC中，若∠A－2∠B＋∠C=0°，則∠B的度數是（ ）
　　A.30° B.45° C.60° D.75°
　　解析：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°，可適當變形為∠A+∠C=180°－∠B，而條件∠A－2∠B＋∠C=0°，也可變形為∠A+∠C=2∠B，所以可知180°－∠B=2∠B，解此方程即可得到∠B=60°.所以選C.
　　例2．如圖3，把△ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，則∠A與∠1、∠2之間存在怎樣的數量關系？（ ）
　　A．∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2
　　C. 3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=∠1+2∠2
　　解析：因為點A落在四邊形BCDE的內部，所以對折后，2∠AED=180°-∠1，2∠AED=180°-∠2，在△ADE中，有三角形的內角和等于180°，可得：∠A+∠AED+∠ADE=180°，解得2∠A=∠1+∠2，所以選B.
　　例3．△ABC，①如圖a，若P點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，則∠P=90°+∠A.
　?、谌鐖Db，若P點是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點，則∠P=90°－∠A.
　　③如圖c，若P點是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點，則∠P=90°-∠A.
　　上述說法中正確的個數是（ ）
　　A.0 B.1 C.2 D.3
　　解析：①在△BPC中，∠P=180°－∠PBC－∠PCB（三角形內角和），而
　　∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
　　所以∠P=180°-（∠ABC+∠ACB），
　　而在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
　　適當變形為∠A+∠ABC+∠ACB=90°，
　　得到∠ABC+∠ACB=90°-∠A，
　　所以∠P=180°-（∠ABC+∠ACB）
　　=180°-（90°-∠A）
　　=90°+∠A
　?、诟鶕切蔚膬冉呛偷扔?80°，可得：∠A+∠ABP=∠P+∠PCA……Ⅰ
　　∠ABP=∠ABC（BP為角平分線）……Ⅱ，
　　∠PCA=∠ACE（PC為角平分線），
　　而∠ACE=∠A+∠ABC（∠ACE為外角），
　　所以∠PCA=（∠A+∠ABC）……Ⅲ，
　　將Ⅱ和Ⅲ代入Ⅰ即得：
　　∠A+∠ABC=∠P+（∠A+∠ABC）
　　整理得∠P=∠A.
　　③在△BPC中，由三角形內角和知：
　　∠P+∠PBC+∠PCB=180°……Ⅰ，
　　由②的解題過程知：
　　∠CBF=∠A+∠ACB（∠CBF為外角），
　　∠BCE=∠A+∠ABC（∠BCE為外角），
　　∠PBC=∠CBF（BP為角平分線）
　　=（∠A+∠ACB）……Ⅱ，
　　∠PCB=∠BCE（CP為角平分線）
　　=（∠A+∠ABC）……Ⅲ，
　　將Ⅱ和Ⅲ代入Ⅰ即得：
　　∠P+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）=180°，
　　去括號得：
　　∠P+∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°……Ⅳ，
　　而在△ABC，有∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
　　所以∠A+∠ACB+∠ABC=90°，
　　將其代入Ⅳ式得：
　　∠P+∠A+90°=180°，
　　整理得∠P=90°-∠A.
　　故答案為C.
　　熟練掌握三角形內角和公式可以使很多問題得到更加簡便的解決，這里就不一一舉例了，希望同學們多加總結，學會舉一反三，達到融會貫通.這樣才能在解決新問題時游刃有余，思路清晰.