大膽猜想 科學驗證

　　【案例背景】
　　“猜想驗證法”是人類探索未知的一種重要思維方法。它是教師指導學生依據已有的經驗，做出有一定根據的推測性猜想，然后再通過驗證，發現新問題，并在解決的過程中，發展創新思維，最終完善猜想，發現規律的學習方法。那么，教學中如何滲透猜想驗證的思想方法呢？筆者以“乘法分配律”為課例進行了嘗試與探索。
　　【案例描述】
　　片段一：創設情境，引發矛盾，大膽提出猜想
　　（師出示競賽題，進行男女對抗賽）
　　
　　
　　
　　（三輪比賽后，都是女生領先）
　　師：三輪比賽中，女生不僅速度快而且正確率高，以絕對的優勢領先于男生，大獲全勝！（許多男生很不服氣，緊盯著競賽題，大喊不公平。）
　　師：（裝作迷惑不解的樣子）怎么不公平？每組的兩道算式都是由相同的三個數組成的，結果也相同啊？
　　一男生搶答道：雖然結果相同，但女生的題正好湊成了整十、整百，再乘一個數太簡單了。我們男生的題卻很復雜，需要先乘再加，經過多步計算才能得出結果！
　　（學生普遍認可這一觀點）
　　師：看來大家都認為不公平！那么這三組簡單的算式之間是不是還隱含著什么聯系呢？
　　生：那是不是任意兩個數的和乘一個數，都可以把這兩個加數分別乘這個數，再把積相加，結果都相等呢？
　　師：大膽的猜想！大家覺得呢？
　　（生持不同意見）
　　師：那接下來我們怎么辦？
　　生：舉例驗證吧！
　　（大家一致贊同，自己嘗試舉例，然后小組合作交流）
　　【分析】兩組計算題的比賽都是女生獲勝，男生強烈感受到比賽的不公平，由此引發了矛盾，使學生急于找出兩組算式的不同，從而大膽地提出猜想。
　　片段二：全面舉例，層層遞進，運用反例驗證
　　各小組交流所舉例子，初步得出結論，任意兩個數的和乘一個數，和把它們分別乘這個數再相加，結果都相等！精彩片段如下。
　　2組補充：我們組舉的例子和大家基本相同，有一個例子是用大一點的數進行驗證，（2000+3000）×8=2000×8+3000×8，結果都等于40000。
　　快嘴的張文來不及舉手，搶答道，老師，我想到還可以用分數舉例。
　　幾乎是在同時，王佳平也迫不及待地發言，還可以用小數舉例呀！
　　師：大家的思考越來越有深度了。看來舉例驗證時，例子要全面，不僅可以用整數舉例，還可以用分數、小數舉例。那同學們想想看，是不是在驗證一個結論時所舉的例子越多，越能證明猜想是正確的？
　　思維敏捷的王青發言，我覺得所舉的例子當然是越多越有說服力，可例子是無數的，永遠也舉不完。如果我們能發現一個反面的例子，證明這個猜想是錯的，就可以得出最終的結論了。
　　師：（贊賞）看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問啊！王青同學為我們的思考指出了一個新的方向。同學們，你能舉出反例嗎？剛剛的驗證過程中有沒有誰的驗證結果是不相等的！
　　（學生搖頭，表示困惑）
　　【分析】這一環節是教學的重點，學生不僅通過驗證得出結果，而且意識到在舉例論證時例子要全面，可以用整數、分數、小數舉例。尤其是運用“反例驗證”，讓學生學會用辯證的眼光來看問題，為提高學生的探究能力提供了一種新的思考方式。
　　片段三：轉換角度，提升思維，數形結合分析
　　師：其實，我們還可以嘗試換角度思考問題！一起來看！你能用不同的方法表示出長方形的面積嗎？你想到了什么？
　　生：（a＋b）×c或者a×c＋b×c。
　　生（恍然大悟）：這兩個算式都表示出了長方形的面積，結果肯定相等。
　　（課堂上一片歡呼，學生茅塞頓開）
　　師：精彩極了。運用數形結合的方法進行分析！現在我們可以肯定地說這個規律確實是成立的，它的名字是——乘法分配律。
　　師生：（總結）看來，在驗證一個猜想時，換角度思考問題也是不錯的方法。
　　……
　　【分析】我國著名數學家華羅庚教授有這樣一段名言，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。在學生苦思冥想，找不出反例時，適時拋出長方形面積公式的計算，引導學生轉換角度思考。由數想形，以形助數，數形結合，促進學生思維水平的提升。
　　【實踐反思】
　　一、激興趣，提猜想，拓寬思路
　　猜想是數學思維的一部分，它包含了理性的思考和直覺的推斷，能使學生獲得更多的數學發現的機會。運用猜想可以營造學習氛圍，激發學生積極的思維和飽滿的熱情，正如牛頓所說，“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現”。那么，小學數學課堂教學中如何引導學生猜想呢？
　　1.設置問題情境
　　正如上述案例中，新課伊始，我通過創設情境，計算競賽引發沖突，從而使學生產生強烈的求知欲望，提出猜想：是不是任意兩個數的和乘一個數，都可以把這兩個加數分別乘這個數，再把積相加，結果都相等呢？并努力證明自己猜想的正確性，主動參與數學知識探索的過程。
　　2.聯系舊知，尋求突破
　　如，復習平行四邊形的面積推導過程以后，讓學生猜想三角形或梯形的面積計算方法該怎樣推導，引導學生運用舊知作新的猜想。再如，教學“3的倍數的特征”時，按常規學生很難猜想到規律。雖然有2的倍數，5的倍數做為舊知，學生也按此思路進行猜想，但幾次試驗未果。這時，讓學生交換3的倍數中數字的位置，再引導猜想。在舊知基礎上，發展學生的創造性思維，引導學生想猜想、會猜想、勤猜想，培養學生合理猜想的習慣。
　　3.結合生活實際
　　數學來源于生活，若能結合現實生活，引入數學課堂，學生會有更多的興趣進行猜想。在教學“平均數”時，有這樣一個問題：小明身高1.2米，河的平均水深是1米，小明過河有危險嗎？學生從理解日常生活中“平均”概念入手，進行猜想，很輕松地進入了自主探究階段，最后都真正地掌握了“平均數”這個重要的概念。
　　引導學生猜想的依據還有很多，但只要教師善于引導，給予鼓勵，使學生猜之有趣，必將成功激發學生的探究興趣。
　　二、重驗證，悟方法，提升思維
　　猜想是數學思維中的一種基本思維方法，“數學事實首先是被猜想，然后才是被驗證”。只有猜想沒有驗證，那是空想；只有經過檢驗或驗證，才能得出科學的結論，這也是數學嚴謹性的體現。猜想驗證的過程，也就是學生主動參與數學知識的探索過程。有的猜想通過簡單計算和操作馬上就可以驗證。如“三角形任意兩邊之和大于第三條邊”這一猜想，學生只需簡單計算，就可以得出正確的結論；而有些猜想則需要更深層次的體驗，需要運用到相關的數學方法。
　　上述“乘法分配律”教學案例中，在學生提出猜想后，教師沒有急于給出答案，而是引導學生自己去尋求答案。“啊，還可以用分數，小數舉例啊！”“如果能舉出一個反例，就可以推翻這個猜想。”“這兩個算式都表示出了長方形的面積，結果肯定相等。”……從最初猜想的提出，到后面的合理驗證，學生不斷迸發出思維的火花。運用反例驗證，讓學生學會用辯證的眼光來看問題，發展了學生的批判性思維。而數形結合的分析方法，由數想形，以形助數，架起形象思維和邏輯思維的橋梁，化難為易，化繁為簡，化隱為顯，使問題簡捷地得以解決。相信經歷了這樣的思辨過程，學生對乘法分配律理解必將更全面、更透徹。
　　總之，“猜想驗證法”可以指導學生運用多種思維方式思考問題、解決問題，培養了學生的創新意識，發揮了學生的內在潛力，并讓學生在學習中獲得愉悅的、有成就感的情感體驗，作為教育者何樂不為呢？
　　
　　(作者單位：山東省榮成市世紀小學)
　　
　　(責任編輯：張欣)