Banach空間中擬嚴格偽壓縮映像族不動點的收斂定理

劉立紅，陳東青，唐西南

（軍械工程學院基礎部，河北石家莊 050003）

Banach空間中擬嚴格偽壓縮映像族不動點的收斂定理

劉立紅，陳東青，唐西南

（軍械工程學院基礎部，河北石家莊 050003）

給出了Banach空間中擬嚴格偽壓縮映像有限族公共不動點的迭代算法，并利用所給出的算法證明了一個強收斂定理，推廣了近期的相關結果。

Banach空間；擬嚴格偽壓縮映像；公共不動點；迭代算法

1 預備知識

設E為實Banach空間，E＊為E的對偶空間。正規對偶映像定義為

其中〈·，·〉表示廣義對偶對。如果E＊是自反光滑的，則J是單值且半連續的。

設C是Hilbert空間H的非空閉凸子集，PC：H→C是從H到C的距離投影，則PC一定是非擴張的，但在Banach空間中結論不再成立。ALBER等在一般的Banach空間E中引入了廣義投影算子ΠC：E→C，它是Hilbert空間中距離投影的一個類似［1］。

設E是自反的、光滑的、嚴格凸的Banach空間，考慮泛函

本文用F（T）＝｛x∈C｜Tx＝x｝表示映像T的不動點集，用

廣義投影算子ΠC：E→C是一個映像，對每一個x∈E對應泛函φ（y，x）的最小值點，即ΠCx＝，其中是下面極小化問題的解：

根據φ（y，x）的性質和J的嚴格單調性可得φ（y，x）的最小值點的存在性和唯一性［2］。

在Hilbert空間中，ΠC＝PC。由φ的定義易得

注1：若E是自反的、光滑的、嚴格凸的Banach空間，那么對于任意x，y∈E，φ（x，y）＝0當且僅當x＝y。

定義1［3］設C為Banach空間E中的非空閉凸子集，稱映像T：C→C為擬嚴格偽壓縮映像，若存在常數0≤k≤1，且F（T）≠?，如果對任意x ∈C及p∈F（T），恒有

若k＝0，則稱T為擬非擴張映像；若k＝1，則稱T為擬偽壓縮映像。

定義2［2］稱Banach空間E具有K性質［1］，若對于任意序列｛xn｝?E，x∈E，如果

近期，ZHOU Hai－yun等在文獻［4］中給出了自反的、嚴格凸的、且具有K性質的光滑Banach空間中擬嚴格偽壓縮映像的不動點的迭代算法，本文將其推廣至擬嚴格偽壓縮映像的有限族的公共不動點情形，給出了相應的迭代算法，并證明了1個強收斂定理。

為證明本文主要結果，首先給出下述引理。

引理1［5］設E為自反的、嚴格凸的、光滑的Banach空間，C為E的非空閉凸子集，x∈E且x0∈C，則x0＝ΠCx當且僅當

引理2［1］設E為自反的、嚴格凸的、光滑的Banach空間，C為E的非空閉凸子集，對任意x∈E，有

引理3［4］設E為自反的、嚴格凸的、光滑的Banach空間，C為E的非空閉凸子集，若映像T：C→C為閉的擬嚴格偽壓縮映像，則F（T）是C的閉凸子集。

2 主要結果

定理 設E為自反的、嚴格凸的、光滑的Banach空間，E和E＊均具有K性質，C是E的非空閉凸子集，Ti：C→C（i＝1，2，…，N）為閉的擬－ki－嚴格為壓縮映像有限族序列｛xn｝由下列迭代生成：

其中k＝max｛k1，k2，…，kN｝，則序列｛xn｝強收斂于ΠF（x0）。

證明 第1步：證明F和Cn均為閉凸集。

由引理3知F（Ti）（i＝1，2，…，N）為閉凸的，故也為閉凸的。下面證明Cn為閉凸的。

C1＝C為閉凸，設Ck為閉凸，z∈Ck＋1，則

第2步：證明F?Cn。

首先F?C＝C1。假設F?Ck，?p′∈F?Ck，則由式（4）及式（5）可推得：

注2：定理將文獻［4］中的擬嚴格偽壓縮映像的不動點情形推廣至擬嚴格偽壓縮映像的有限族的公共不動點情形，給出了相應的迭代算法。

［1］ ALBER Y I，REICH S．An iterative method for solving a class of nonlinear operator equations in Banach spaces［J］．Panamer Math，1999，4：39－54．

［2］ HUDZIK H，KOWALEWSKI W，LEWICKI G．Approximative compactness and full rotundity in Musielak－orlicz spaces and Lorentz－orlicz spaces［J］．Z Anal Anwend，2006，25：163－192．

［3］ BAUSCHKE，COMBETTES P L．A weak－to－strong convergence principle for fejer－monotone methods in Hilbert spaces［J］．Mathematics of Operations Rresearch，2001，26：248－264．

［4］ ZHOU Hai－yun，GAO Xing－hui．An iterative method of fixed points for closed and quasi－strict pseudo－contractions in Banach spaces［J］．J Appl Math Comput，2010，33（1／2）：227－237．

［5］ ZHOU Hai－yun，GAO Gai－liang，TAN Bin．Convergence theorems of a modified hybrid algorithm for a family of quasi－asymptotically nonexpansive mappings［J］．J Appl Math Comput，2010，32（2）：453－464．

Convergence theorems of fixed points for family of quasi－strict pseudo－contractive mappings in Banach spaces

LIU Li－hong，CHEN Dong－qing，TANG Xi－nan
（Department of Basic Courses，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang Hebei 050003，China）

This paper modifies the iterative algorithm of common fixed points for a finite family of quasi－strict pseudo－contractive mappings in Banach spaces．Then a strong convergence theorem is proved by the modified algorithm，which generalizes the recent results．

Banach space；quasi－strict pseudo－contractive mapping；common fixed point；iterative algorithm

O177．91

A

1008－1542（2011）06－0529－03

2011－04－22；責任編輯：張 軍

國家自然科學基金資助項目（11071053）；軍械工程學院基金項目（YJJXM11003）

劉立紅（1972－），女，河北保定人，講師，主要從事非線性泛函分析及其應用方面的研究。