基于飽和函數的機械臂模糊滑模趨近律設計

席雷平，郭 輝，何 東

（1.軍械工程學院光學與電子工程系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學外國語學院，河北石家莊 050018；3.河北電力研究院，河北石家莊 050021）

基于飽和函數的機械臂模糊滑模趨近律設計

席雷平1，郭 輝2，何 東3

（1.軍械工程學院光學與電子工程系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學外國語學院，河北石家莊 050018；3.河北電力研究院，河北石家莊 050021）

為了削弱機械臂滑模控制中的抖振現象，提出了模糊趨近律的控制方法。利用模糊控制器實時調整滑模控制的趨近律參數，并將飽和函數引入趨近律的設計中，設計了一種新型趨近律。該方法既保證了控制系統的快速性和魯棒性，又能夠有效地削弱抖振，另外，控制系統設計簡單，便于工程應用。仿真結果表明，該控制策略不僅有效地抑制了系統的抖振，而且保證了機械臂系統對期望軌跡的快速跟蹤性，進而提高了機械臂的工作性能。

機械臂；模糊滑模控制；抖振；飽和函數；趨近律

機械臂作為一類多輸入、多輸出非線性系統，具有強耦合、時變、模型不確定等特點，由于測量和建模的不精確性，實際上無法得出機械臂精確完整的動力學模型，因此，必須面對機械臂大量不確定性的存在。

滑模控制因其在滑動模態對系統干擾和攝動具有魯棒性而得到控制界重視，近年來，滑模變結構控制越來越多應用到機械臂系統中［1－2］。但滑模控制的缺點是存在高頻抖振，因此減弱抖振是機械臂滑模控制要解決的首要問題。

采用趨近律的方法能夠有效地減弱滑模控制中的抖振問題［3］。筆者在對機械臂的動力學特性和常用趨近律進行深入分析的基礎上，將飽和函數引入趨近律的設計中，并根據改進的趨近律設計了相應的機械臂滑模控制策略，最后以二關節機械臂為對象，對該滑模控制策略進行了設計與仿真。

1 機械臂動力學模型

基于拉格朗日運動學建立的n關節機械臂的動態方程為［4］

2 滑模面設計

將機械臂的系統誤差e定義為

其中：qd為機械臂關節的期望位置矢量；q為實際輸出位置矢量。取qd為指令，設計線性滑模面為［5］

當系統到達滑模面后，對給定的任意初始狀態e（0），系統將穩定并在有限時間內到達平衡點。此外，通過設計常數矩陣C，可使控制系統具有好的動態品質。

3 趨近律設計

在對變結構控制原理的描述中到達條件沒有反映運動如何趨近切換面，文獻［6］提出并發展了趨近律的概念和公式，保證正常運動段的品質，即給出了按規定趨近律的趨近到達條件。指數趨近律是一種常用的趨近律，表示如下［7］：

式中，εsgn（s）為滑模控制項，當s→0時，ks→0，但εsgn（s）并不趨于0，故˙s也不趨于0，系統狀態將會來回地穿越滑模面而造成抖振，并且抖振的強度由ε的大小來決定。

對于指數趨近律，為了有效地抑制高頻抖振，必須減小ε，而小的ε又影響了系統的快速性；增大k可以加速趨近速度，但又要求系統有較大的控制強度。為了解決這個問題，采用模糊方法理論對于指數趨近律中的ε進行設計。

干擾的存在必然會引起機械臂位置誤差e發生變化，由于滑模面s是關于e的函數，因此干擾的大小會影響到s的值，可以通過s的值來間接估計。基于這種思想，可以設計一維模糊控制器，它根據s的絕對值大小來實時地調整趨近律的參數ε，其原理如圖1所示。

模糊控制器的輸入變量為｜s｜，輸出變量為ε。描述輸入和輸出變量的語言值的模糊子集均為

圖1 模糊控制器原理圖Fig.1 Schematic diagram of sliding-mode controller

設輸入｜s｜的論域為U，并像U一樣也把輸出量ε的大小量化為6個等級，即

模糊控制規則如下：

根據控制經驗，當｜s｜為PB時，表示系統狀態遠離滑模面，因此需要一個大的趨近律參數ε以加快趨近速度，即ε應為PB；當｜s｜為PS時，表示系統狀態離滑模面較近，因此需要一個較小的ε使趨近速度變慢以減小抖振，即ε應為PS。基于上述經驗，采用如表1所示的控制規則表［8］。

清晰化方法采用MIN-MAX-重心法，它是著名的Mamdani推理法。清晰化的控制量由式（5）計算，再經過尺度變換即可變為實際的控制量ε。

表1 控制規則表Tab.1 Chart of the control regularity

利用上述的模糊控制器實時地調整ε，從而構成了滑模控制的模糊趨近律。

采用模糊指數趨近律能夠有效地削弱系統的抖振，但是只要控制器中含有符號函數sgn（s），控制輸出就不可避免地會產生抖振現象。飽和函數可有效抑制抖振，使輸出平滑有界。因此考慮采用飽和函數中的雙曲正切函數來代替符號函數進行趨近律的設計，雙曲正切函數具體表達式如下：

飽和函數法實質上是用飽和特性取代原有繼電特性［7］，目的是緩解切換的不連續性。圖2是符號函數和雙曲正切函數的比較曲線，從圖2中可以看出，雙曲正切函數使得切換過程變得連續而又平滑，這對于抑制趨近運動過程的抖振具有重要作用。

在趨近律的設計中引入雙曲正切函數，具體表示為

˙s＝－εtanh（s）－ks，ε＞0，k＞0。 （7）

該趨近律既克服了指數趨近律方法中滑模運動切換帶為帶狀的缺點，又保證了趨近過程的快速性，并且當接近滑模面時，該趨近律速度接近為0，有效地減小了進入滑模面的初始系統抖振。

4 控制律設計

［9］的系統設計思想，機械臂模糊滑模變結構控制系統的結構設計如圖3所示。根據圖3并結合式（2）可知：

圖2 雙曲正切函數與符號函數比較圖Fig.2 Curves of hyperbolic tangent function and sign function

圖3 機械臂控制系統結構圖Fig.3 Schematic diagram of robotic manipulator control system

5 系統仿真

選取二關節機械臂為控制對象，利用Matlab軟件對其進行仿真研究。在不考慮摩擦力的情況下，其動力學方程為

圖4 基于指數趨近律的機械臂滑模控制仿真曲線Fig.4 Sliding-mode control simulation curves of robotic manipulator based on exponential trenind law

由仿真結果可知，基于飽和函數設計的機械臂模糊滑模趨近控制策略不僅能夠有效地抑制系統的抖振，使得實際的控制輸入比較平滑，而且保證了機械臂系統對期望軌跡的快速跟蹤性，更重要的是縮短了趨近階段的時間，使得系統由初始狀態進入滑模狀態的速度大大提高，從而提高了系統的魯棒性。

6 結 語

圖5 基于改進趨近律的機械臂模糊滑模控制仿真曲線Fig.5 Sliding-mode control simulation curves of robotic manipulator based on improved trenind law

在對機械臂滑模控制中存在的抖振問題進行深入分析的基礎上，采用模糊趨近律的方法來抑制抖振，并將飽和函數引入到模糊趨近律的設計中來，設計了相應的機械臂模糊滑模控制策略，與常規的指數趨近律滑模控制策略相比，該控制策略具有更好的魯棒性，不僅能夠有效地抑制滑模控制中的抖振，而且保證了機械臂關節的快速跟蹤性。最后，借助Matlab工具箱對該控制策略進行了仿真實驗，驗證了其可行性和有效性，說明了該控制策略具有較好的控制性能。

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［10］ 劉金錕.機器人控制系統的設計與MATLAB仿真［M］.北京：清華大學出版社，2008.

Design of fuzzy trending law based on saturation function in sliding mode control for robotic manipulators

XI Lei-ping1，GUO Hui2，HE Dong3
（1.Department of Optics and Electrics Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang Hebei 050003，China；2.College of Foreign Languages，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China；3.Hebei Electric Power Research Institute，Shijiazhuang Hebei 050021，China）

In order to weaken chattering phenomenon of robotic manipulators，a method of fuzzy trending law is presented.It applies fuzzy controller to adjust the parameters of trending law of sliding mode control timely，while saturation function is introduced into trending law design，and then a new trending law is proposed.This method can not only ensure the speediness and robustness of the control system，but also weaken chattering effectively.In addition，the design of the control system is simple，so it can be easily applied to engineering.The simulation results show that the scheme can not only control the chattering effectively but also achieve a fast and accurate tracking，thus enhancing the operational performance of robot manipulators.

robotic manipulator；fuzzy sliding mode control；chattering；saturation function；trending law

TP391.8

A

1008-1542（2011）05-0482-06

2011-06-17；

2011-09-09；責任編輯:李 穆

軍隊2110實驗室重點資助項目；軍械工程學院基金項目（JX2011026）

席雷平（1979-），男，河北邯鄲人，講師，博士研究生，主要從事導航、制導與控制方面的研究。