基于變尺度差商比序列統(tǒng)計量的小子樣靜態(tài)一致性檢驗

郝晉峰，郭 輝，李經(jīng)中，王 琦，徐 成

（1.軍械工程學(xué)院六系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學(xué)外國語學(xué)院，河北石家莊 050018；3.66440部隊，河北石家莊 050081；4.78636部隊，四川什邡 618419）

基于變尺度差商比序列統(tǒng)計量的小子樣靜態(tài)一致性檢驗

郝晉峰1，郭 輝2，李經(jīng)中1，王 琦3，徐 成4

（1.軍械工程學(xué)院六系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學(xué)外國語學(xué)院，河北石家莊 050018；3.66440部隊，河北石家莊 050081；4.78636部隊，四川什邡 618419）

針對小子樣條件下靜態(tài)一致性檢驗問題，介紹了利用次序統(tǒng)計量相關(guān)理論進行一致性檢驗的部分方法，在對此類方法的檢驗過程進行深入探討的基礎(chǔ)上，借鑒已有的部分研究結(jié)論，對利用變尺度差商比序列統(tǒng)計量進行一致性檢驗的思路和方法進行了改進，改進后的方法適用于任意分布子樣，計算過程簡便且檢驗效果良好。

小子樣；一致性檢驗；秩和檢驗法；次序統(tǒng)計量；變尺度差商比序列統(tǒng)計量

武器裝備試驗和鑒定工作中，由于試驗成本等客觀條件的限制，完全依靠現(xiàn)場試驗信息進行試驗分析的方法已無法滿足現(xiàn)實需求。隨著仿真技術(shù)的日漸成熟，研究人員更加關(guān)注小子樣條件下合理利用仿真數(shù)據(jù)進行科學(xué)統(tǒng)計決策的研究。由于數(shù)據(jù)是對實際情況的模擬，其結(jié)果可信性、與現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)差異性，將直接影響到后續(xù)試驗鑒定方法的合理運用，因此在利用仿真數(shù)據(jù)前，必須對其與現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的一致性進行驗證，即一致性檢驗。

目前，針對一致性檢驗方法的討論很多，方法研究也較為成熟，但適用于小子樣情況下的檢驗方法還比較少。文獻［1］對小子樣條件下秩和檢驗法的應(yīng)用進行了討論，但秩和檢驗法適用范圍相對較小，某些情況下檢驗精確度不甚理想。部分研究人員又提出了利用次序統(tǒng)計量的相關(guān)理論來解決一致性檢驗問題的方法［2］，但其理論推導(dǎo)過程存在一定的缺陷，文獻［3］對文獻［2］中的方法進行了深入分析，指出了原有方法的缺陷，并提出了一系列利用變尺度差商比序列統(tǒng)計量進行一致性檢驗的方法，較好地解決了部分特定分布子樣的一致性檢驗問題，但沒有給出適用于任意分布的小子樣一致性檢驗的思路和方法［4］。

筆者通過對秩和檢驗法和某正態(tài)分布數(shù)據(jù)一致性檢驗方法的進一步分析，并結(jié)合已有研究結(jié)論，給出了利用次序統(tǒng)計量構(gòu)造變尺度差商比序列統(tǒng)計量對小子樣條件下任意分布進行一致性檢驗的思路和方法。

1 一致性檢驗的基本方法和思路

1.1 基本方法

研究子樣間一致性問題的方法有很多，比較成熟的定量方法為數(shù)理統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的方法。設(shè)有2組樣本（X1，X2，…，Xn）和（Y1，Y2，…，Yn），其分布函數(shù)為F（x）和G（y），驗證2組子樣的一致性就是要驗證2組子樣是否符合同一分布。根據(jù)試驗背景的不同，大體有以下3種情況。

1）2組子樣分布形式相同且已知，但分布參數(shù)未知。在工程試驗中，根據(jù)以往經(jīng)驗有時可以提前預(yù)知2組子樣的分布形式，但分布參數(shù)未知，此時可利用參數(shù)假設(shè)檢驗的方法來驗證2組子樣分布的分布參數(shù)相同，進一步得到一致性結(jié)論。

2）2組子樣中，一組子樣分布完全已知，另一組子樣分布未知。假設(shè)分布G（y）完全已知，而F（x）未知，此時的一致性檢驗問題即轉(zhuǎn)化為驗證子樣（X1，X2，…，Xn）服從分布G（y）的擬合優(yōu)度檢驗問題。

3）2組子樣分布的形式與參數(shù)均未知。此時可利用非參數(shù)假設(shè)檢驗對2組子樣分布進行相等性檢驗。

1.2 基本思路

小子樣情況指現(xiàn)場試驗子樣較少的情況，對仿真試驗樣本量沒有特定要求，因此在處理小子樣一致性檢驗問題時一般有2種基本思路：一種是利用自助法（Bootstrap）等方法對子樣進行再抽樣，將小子樣轉(zhuǎn)化為大子樣問題，然后選取適合大子樣的假設(shè)檢驗方法進行一致性檢驗；另一種則是直接選用適合小子樣的方法進行，如W 檢驗、秩和檢驗等等。

2 小子樣條件下一致性檢驗

在檢驗過程中利用經(jīng)驗分布函數(shù)對分布形式進行近似，以次序統(tǒng)計量為出發(fā)點構(gòu)造相應(yīng)統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗。

3 基于變尺度差商比序列統(tǒng)計量的一致性檢驗

文獻［2］介紹了利用變尺度差商比序列統(tǒng)計量對任意分布進行一致性檢驗的基本思路，但該思路存在一定的理論缺陷［3］，文獻［4］提出了一系列利用變尺度差商比序列統(tǒng)計量進行一致性檢驗的方法，筆者以正態(tài)分布子樣的檢驗方法為例，對其檢驗統(tǒng)計量分布的一般形式以及一般情況下該檢驗方法的運用進行深入探討。

3.1 變尺度差商比序列統(tǒng)計量定義

假設(shè)存在2組子樣（x1，x2，…，xn1）和（y1，y2，…，yn2），由小到大混合排序記為 X（1）≤X（2）≤…≤X（n1＋n2），其中n1＋n2＝n，構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量，稱其為變尺度差商比序列統(tǒng)計量［4］。利用該統(tǒng)計量進行的檢驗為一種多尺度分析，是以Xk－Xi為尺度測量Xj與Xi有無差異性。

3.2 相關(guān)分析

可以看出，上述檢驗方法對于不同的i，j，k取值，Xijk的分布函數(shù)非常難于求解，而且其分布函數(shù)不具有一般表達(dá)式，其臨界值也只能通過大量模擬計算求得。在實際的工程試驗鑒定中，此檢驗方法計算量過大，適用范圍比較窄，只適用于n非常小的情況下正態(tài)分布數(shù)據(jù)的一致性檢驗問題。雖然文獻［4］提出了一系列的檢驗方法，但這些方法均是針對某類分布的特定方法，不具有一般性。因此，有必要提出一種計算簡便且適用于任意分布的基于變尺度差商比序列統(tǒng)計量的一致性檢驗思路和方法。

4 任意分布的變尺度差商比序列統(tǒng)計量檢驗

根據(jù)以上討論，并借鑒文獻［2］—文獻［4］的相關(guān)結(jié)論，利用變尺度差商比序列統(tǒng)計量，給出任意分布下靜態(tài)一致性檢驗的思路和方法。

4.1 基本原理

給定不同的α，以雙側(cè)檢驗為例，可設(shè)定P｛Zijk＜z1｝＝P｛Zijk＞z2｝＝α／2，查不完全β函數(shù)表或通過模擬計算可求得相應(yīng)的z1，z2值。同時可看出ak的表達(dá)式即為次序統(tǒng)計量X（k）的分布函數(shù)，根據(jù)子樣分布F（x）的不同，可分別求得ak的值，進一步可得到檢驗統(tǒng)計量Zijk的值。若z1＜Zijk＜z2，則αk符合U（0，1）均勻分布，2個子樣相容；若Zijk≤z1或Zijk≥z2，則αk不符合U（0，1）均勻分布，2組子樣不相容。

4.2 相關(guān)分析

1）上述方法適用于任意分布的一致性檢驗，并且在進行檢驗前子樣所符合的總體分布F（X）需完全已知。在無法預(yù)知分布時，若仿真子樣充足，則直接計算其經(jīng)驗分布Fn（X）用以近似F（X）；若仿真子樣也略顯不足，則利用Bootstrap法對子樣進行再抽樣以獲得足夠的再生子樣，利用再生子樣計算經(jīng)驗分布（X）用以近似F（X），最后運用上述方法進行一致性檢驗。

2）利用上述方法進行一致性檢驗，需對所有αk構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量Zijk進行逐一討論，有1個不符合一致性條件則認(rèn)定2個子樣不相容。

3）上述方法是利用了變尺度差商比序列統(tǒng)計量對αk是否滿足U（0，1）進行了檢驗，也可以利用擬合優(yōu)度檢驗的方法檢驗αk是否滿足U（0，1）。

5 算例分析

以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布U（0，1）為例，隨機產(chǎn)生子樣x1＝1.066 8，x2＝－0.095 6，x3＝0.059 3，x4＝0.294 4，x5＝－0.832 3，利用4.1所述任意分布一致性檢驗方法進行檢驗。

將子樣排序有次序統(tǒng)計量：x（1）＝－0.832 3，x（2）＝－0.095 6，x（3）＝0.059 3，x（4）＝0.294 4，x（5）＝1.066 8。利用式（3）有α1＝0.677 6，α2＝0.761 3，α3＝0.544 2，α4＝0.364 8，α5＝0.462 3，將αk排序并求得個檢驗統(tǒng)計量Zijk的值。

令α＝0.05，設(shè)定P｛Zijk＜z1｝＝P｛Zijk＞z2｝＝α／2，利用 Matlab逆累計積分布函數(shù)計算可求得此時的拒絕域z1和z2的值，將Zijk與z1，z2同時列于表1。可以看出，對任意Zijk，均有z1＜Zijk＜z2，故子樣滿足一致性。

表1 n＝5時，Zijk與z 1，z 2的取值Tab.1 Values of z 1，z2 and Zijk when n＝5

6 結(jié) 語

筆者針對小子樣條件下靜態(tài)一致檢驗問題，介紹了利用次序統(tǒng)計量構(gòu)造變尺度差商比序列統(tǒng)計量對任意分布小子樣靜態(tài)數(shù)據(jù)進行一致性檢驗的基本思路和方法，通過與已有檢驗方法的對比分析和實例驗證得出，該方法檢驗統(tǒng)計量的分布形式確定且易于計算，適用于任意分布形式數(shù)據(jù)的一致性驗證。

［1］ 張湘平，張金槐，謝紅衛(wèi).驗前信息與現(xiàn)場子樣的相容性檢驗方法研究［J］.飛行器測控學(xué)報（Journal of Spacecraft TT and C Technology），2002，21（1）：55-59.

［2］ 唐雪梅.小樣本場合下相容性檢驗方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)（Systems Engineering and Electronics），2001，23（10）：66-80.

［3］ 王 暉，潘高田，臧興震，等.正態(tài)分布的小樣本數(shù)據(jù)的相容性檢驗理論和方法［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識（Mathematics in Practice and Theory），2005，35（3）：131-137.

［4］ 潘高田，潘 峰，王 暉，等.順序統(tǒng)計量在小樣本檢驗中的理論和方法研究［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報（Chinese Journal of Engineering Mathematics），2005，22（2）：301-306.

［5］ 李 姝.導(dǎo)彈系統(tǒng)仿真模型驗證方法研究［D］.長沙：國防科技大學(xué)，2003.

［6］ 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程［M］.北京：高等教育出版社，1982.

［7］ 張金槐，唐雪梅，邵鳳昌.武器裝備小子樣試驗分析與評估［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2001.

Static consistency inspection under small sample circumstance based on statistic of difference quotient ratio series in variable metric

HAO Jin-feng1，GUO Hui2，LI Jing-zhong1，WANG Qi3，XU Cheng4
（1.The Sixth Department，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang Hebei 050003，China；2.College of Foreign Languages，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China；3.No.66440 Unit of PLA，Shijiazhuang Hebei 050081，China；4.No.78636 Unit of PLA，Shifang Sichuan 618419，China）

The paper presents some methods of static consistency inspection for simulation data under small sample circumstance with order statistics.Based on the discussion of these methods and by using some results for reference，the consistency inspection based on the statistic of difference quotient ratio series in variable metric is improved，which is fit for arbitrary distributions and has a better inspection effect.

small sample；consistency inspection；rank sum test；order statistics；statistic of difference quotient ratio series in variable metric

O635

A

1008-1542（2011）05-0413-04

2011-04-05；

2011-08-27；責(zé)任編輯:張 軍

郝晉峰（1984-），男，河北新樂人，博士研究生，主要從事裝備維修保障等方面的研究。