Hermite矩陣酉相似對(duì)角化的物理意義①

米斌周 楊文光

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京東燕郊 101601)

Hermite矩陣酉相似對(duì)角化的物理意義①

米斌周②楊文光

(華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京東燕郊 101601)

量子力學(xué)中的一項(xiàng)基本假定是代表力學(xué)量的算符是Hermite算符，由力學(xué)量算符的本征方程解出的全部本征值，就是相應(yīng)力學(xué)量的可能取值。如果用測(cè)量?jī)x器測(cè)量這個(gè)力學(xué)量的取值，只能測(cè)得其本征值。本文先從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了Hermite矩陣可以酉相似對(duì)角化，然后結(jié)合物理實(shí)例分析了其物理意義。

Hermite矩陣;相似對(duì)角化;物理意義

0 引言

在量子力學(xué)中，物理量是用微分算子來(lái)表示的，算子的特征值就是可測(cè)量物理量的量值。而可觀測(cè)物理量的量值一定是實(shí)數(shù)。這就是說(shuō)，表示物理量的微分算子一定是自伴算子。在實(shí)空間的自伴算子稱為對(duì)稱算子，在復(fù)空間的自伴算子稱為厄米共軛算子，簡(jiǎn)稱厄米算子或厄米算符。表示厄米算符的矩陣是Hermite矩陣。因此Hermite矩陣的酉相似對(duì)角化在量子物理中具有十分重要的意義。例如，解定態(tài)薛定諤方程求定態(tài)能級(jí)問(wèn)題［1，2］，求解格林函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程給出自旋波的色散關(guān)系等問(wèn)題都涉及到Hermite矩陣的對(duì)角化［3］。本文先從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了Hermite矩陣必定可以酉相似對(duì)角化，且其本征值為實(shí)數(shù)。然后結(jié)合物理實(shí)例給出詳細(xì)的求解過(guò)程，分析了物理意義。

1 定理證明

引理1［4，5］(Schur定理)設(shè)A∈Cn×n，則存在酉矩陣P∈Cn×n，使得A=PΛPH，其中Λ的主對(duì)角元是A的特征值的上三角形矩陣，它們可以按照所要求的次序排列。

定理1［5］對(duì)于n階Hermite矩陣A，存在n階酉矩陣P，使得

證明：對(duì)于n階Hermite矩陣A，按照Schur定理，存在n階酉矩陣P，使得A=PΛP－1=PΛPH。

又因A=AH，所以PΛPH=(PΛPH)H=PΛHPH

因?yàn)镻為酉矩陣，故P和PH都是滿秩矩陣，所以Λ=ΛH，而Λ為上三角形矩陣，那么ΛH為下三角形矩陣，二者相等，則Λ只能是對(duì)角陣，且其對(duì)角元均為實(shí)數(shù)。

根據(jù)Schur定理，A與Λ酉相似，故存在相同的特征值，又因?yàn)棣珵閷?duì)角陣，其對(duì)角元即為A的特征值。

將定理1推廣到實(shí)空間上，亦有：

定理2［6］對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在n階正交矩陣P，使得

其中，λ1，λ2，…，λn是A的n個(gè)實(shí)數(shù)特征值。

2 物理意義分析

例：以|lm〉表示L2，Lz共同本征態(tài)，［L2=l(l +1)?2，Lz=m?］限定l=1，取基矢為|11〉，| 10〉，|1－1〉，在這態(tài)矢量子空間建立L2－Lz表象.求Lx，Ly的矩陣(3階)表示以及本征值和本征矢(取?=1).

根據(jù)基矢組|11〉，|10〉，|1－1〉的正交歸一和完備性，結(jié)合上面的關(guān)系式容易求得在L2－Lz表象中，Lx，Ly的矩陣表示分別為：

Lz在其自身表象中的矩陣表示為一對(duì)角陣，對(duì)角元上的元素0、1、－1就是它的本征值.

下面將Lx，Ly相似對(duì)角化。

(1)Lx的久期方程(本征方程)為：

因此對(duì)Lx相似對(duì)角化的正交矩陣(物理上也叫幺正矩陣)為：

3 結(jié)語(yǔ)

從上面的求解過(guò)程可以看出，將Lx，Ly相似對(duì)角化的過(guò)程，就是將Lx，Ly的矩陣表示從Lz表象變化到自身表象的過(guò)程。物理上叫做表象變換，數(shù)學(xué)上叫做相似對(duì)角化，其本質(zhì)是一樣的。Lx，Ly都有三個(gè)不同的本征值，因此對(duì)應(yīng)三個(gè)正交歸一的本征矢，這和數(shù)學(xué)上的結(jié)論是一致的。如果一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)的哈密頓量H∧的本征值出現(xiàn)重根，也可以找到與重根個(gè)數(shù)相同的正交歸一的本征矢，這種情況在物理上對(duì)應(yīng)能量簡(jiǎn)并態(tài)，也就是說(shuō)同一能量本征值對(duì)應(yīng)幾個(gè)不同的本征態(tài)。

［1］錢(qián)伯初.量子力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006

［2］周世勛.量子力學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，1979

［3］王懷玉.凝聚態(tài)物理的格林函數(shù)理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2008

［4］方保镕，周繼東，李醫(yī)民.矩陣論［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004

［5］施吉林，張宏偉，金光日.計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算［M］.北京：高等教育出版社，2005

［6］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2007

Thephysical meaning of a Hermite matrix being similar to the diagonal matrix

MI Binzhou，YANG Wenguang

(Department of Basic Curriculum，North China Institute of Science and Technology，Yanjiao Beijing－East 101601)

The mechanical quantity is expressed by a Hermite operator is one of the basic hypotheses of quantum mechanics.All eigenvalues solved by the mechanical quantity operator eigenvalue equation are the possible values of the corresponding mechanical quantities.If one with a measuring instrument to measure the amount of value，eigenvalues can only be measured.In this paper，a Hermite matrix being similar to a diagonal matrix is proved in mathematics，and then combined with examples to explain its physical meaning.

Hermite matrix;Diagonalization;Physical meaning

0241.6

A

1672－7169(2011)04－0056－03

2011－07－12

米斌周(1980－)，男，甘肅慶陽(yáng)人，凝聚態(tài)物理學(xué)專業(yè)碩士研究生，華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部物理教研室講師。研究方向：低維物理與磁性納米材料。