新課程改革中微積分的概述及思考

裴 潔

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710062)

1 微積分內(nèi)容進入我國高中教材中的曲折歷程及其基本定位

微積分內(nèi)容是否應(yīng)該進入高中教材，我國的數(shù)學(xué)教育者一直對此頗有爭議。1958年，我國數(shù)學(xué)改革，微積分成為高中新增內(nèi)容，經(jīng)過6年的實驗，最終以失敗告終。1961年，數(shù)學(xué)大綱中刪除了微積分;1978年制定新大綱，又將微積分列入，但是在實際的教學(xué)中，很大一部分教師和學(xué)生都不能適應(yīng)，教師教得費力，學(xué)生學(xué)得迷茫，1983年又把微積分作為選學(xué)內(nèi)容，但是因為高考不考，微積分的教學(xué)形同虛設(shè)，老師和學(xué)生都對其視而不見。隨著如火如荼的新課改，微積分再一次被學(xué)者瞄上，成為高中教材中的一部分，且在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》以下簡稱《課標》)中，對微積分重新進行定位，淡化形式教學(xué)，擯棄嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維和精確的數(shù)學(xué)語言，打破了傳統(tǒng)以來一直以極限為基礎(chǔ)的引入方式，而從瞬時速度入手，用變量的方法體現(xiàn)極限的思想。這一重大課程改革滿足了學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，當學(xué)生因為自己思維的局限對新知識產(chǎn)生困惑時，他們心中有一種對知識強烈渴望的需要，這就需要教育工作者關(guān)注學(xué)生的理解方式，不斷調(diào)整課程設(shè)計，幫助學(xué)生理解。

“高中數(shù)學(xué)課程是面向全體高中學(xué)生的，不是培養(yǎng)數(shù)學(xué)專門人才的基礎(chǔ)課，高中數(shù)學(xué)課程強調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出主線，通性通法，需要削枝強桿”［1］。很多教師認為學(xué)習(xí)微積分在極限的基礎(chǔ)上會讓學(xué)生更容易理解，其實如果把極限作為導(dǎo)數(shù)的切入點，把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限去教授，會讓學(xué)生思維混亂，在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)夾生現(xiàn)象，甚至可能對微積分產(chǎn)生恐懼的想法，嚴重影響了對導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的認識和理解。“用導(dǎo)數(shù)反映的變化率思想研究初等函數(shù)的性質(zhì)”［2］是《課標》中對微積分的定位。《課標》中對導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的定位是“不僅把導(dǎo)數(shù)作為一種規(guī)則，更作為一種重要的思想，方法來學(xué)習(xí)，要全面體現(xiàn)微積分課程的應(yīng)用價值和教育價值”［3］。高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的教授要求高中教師們讀懂高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對于有些數(shù)學(xué)知識，學(xué)生的認知是螺旋上升的，需要一定時間的積累和知識的儲備才能完全理解。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該教會學(xué)生理解，想法設(shè)法把難理解的內(nèi)容變得容易理解，而不是把明明可以直觀化理解的內(nèi)容給理論復(fù)雜化了。在微積分課程的改革中，體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)的說法“教學(xué)有法，教無定法，貴在得法”。

2 《課標》中微積分的課程設(shè)計及其基本理念

傳統(tǒng)教材對微積分的內(nèi)容編排是:數(shù)列極限—函數(shù)的極限—函數(shù)的連續(xù)性—導(dǎo)數(shù)—導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用—不定積分—定積分。這種編排順序只是大學(xué)微積分內(nèi)容的一種縮編，導(dǎo)數(shù)的概念是在精準的，嚴謹?shù)模橄蟮臉O限定義下引入學(xué)習(xí)的，形式化的教學(xué)讓學(xué)生在微積分的開始學(xué)習(xí)階段就被難以理解的極限概念牽扯，極易對后繼微積分的學(xué)習(xí)造成障礙。高中生學(xué)習(xí)微積分課程的重點是微積分的基本思想，并不是被壓縮了的整個微積分學(xué)科體系。現(xiàn)行北師大版的高中新課標教材中的微積分內(nèi)容編排逾越了形式化的極限，采取了“無極限”的引入方式，其編排順序為:變化率與導(dǎo)數(shù)—導(dǎo)數(shù)應(yīng)用—定積分。“其關(guān)鍵在于不以一般極限理論作為鋪墊，直接從變化率引入導(dǎo)數(shù)，當需要極限理論時再直觀認識”。“《課標》中處理無極限導(dǎo)數(shù)的一個基本策略便是:讓學(xué)生感受運動體在一系列間隔非常小的情景下平均速度的變化，抽象出瞬時速度(告訴學(xué)生這樣一個得到瞬時速度的過程在數(shù)學(xué)中被稱為求極限)，瞬時速度也就是位移函數(shù)的瞬時變化率”［4］。這一設(shè)計充分體現(xiàn)了《課標》中“強調(diào)本質(zhì)，注重適度形式化”這一基本理念。學(xué)生通過大量的生活化實例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，通過實際生活背景，明白瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，用形象直觀的逼近方法給出了導(dǎo)數(shù)的定義，強調(diào)學(xué)生的原有的數(shù)學(xué)認知，讓學(xué)生在經(jīng)歷過程中感受導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的認識和理解，體會到數(shù)學(xué)知識的認知是水到渠成的。直接通過實際背景和具體應(yīng)用實例，讓學(xué)生理解從平均變化率到瞬時變化率，從有限思維到無限思維，理解導(dǎo)數(shù)這種特殊的極限，使學(xué)生不僅對變量數(shù)學(xué)的思想方法有新的感受，發(fā)展思維能力，為進一步學(xué)習(xí)微積分打好基礎(chǔ)，還能使學(xué)生能全面認識到數(shù)學(xué)的價值。

傳統(tǒng)的微積分課程過分關(guān)注數(shù)學(xué)的形式化和嚴謹性原則，理論性較強，不適合高中學(xué)生的認知水平，過分的形式化和嚴謹性就像是學(xué)生的雷區(qū)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中小心翼翼，影響了思維的概括性和敏捷性，降低數(shù)學(xué)觀察能力。《課標》中導(dǎo)數(shù)概念的生成過程是一個探究的動態(tài)過程，主張聯(lián)系日常生活，從實際問題中的平均速度，平均變化率等概念，到函數(shù)的平均變化率，再到函數(shù)在一點處的變化率—導(dǎo)數(shù)，“把微積分內(nèi)容呈現(xiàn)為學(xué)生容易接受的‘教育形態(tài)’”［5］，用適度的形式化打破傳統(tǒng)微積分課程過于嚴密的推理過程，給學(xué)生留下較大的思維余地，給學(xué)生一個從“非形式化”到“形式化”的認知過渡，符合高中學(xué)生的認知規(guī)律，高中數(shù)學(xué)不能過度的形式化，以免將生動活潑的數(shù)學(xué)思維淹沒在形式化的學(xué)術(shù)海洋里。形式化是數(shù)學(xué)的特征之一，但是中學(xué)數(shù)學(xué)中的形式化受學(xué)生特定時期的認知水平的限制，在高中數(shù)學(xué)課程中，適度形式化是必要的。

早在1982年就有學(xué)者提出在中學(xué)教授微積分總的想法是“理論上不做嚴格要求，但要有一定的推理訓(xùn)練，注意實際應(yīng)用，同時借助幾何主觀理解”［6］。張孝達先生1991年在西南師范大學(xué)的報告中提出了“淡化概念”，后來陳重穆先生也提出“淡化形式，注重實質(zhì)”［7］的觀點.其實這些都是《課標》中“強調(diào)本質(zhì)，注重適度形式化”這一基本理念的基礎(chǔ)。學(xué)生對課程內(nèi)容的理解不是一個思維頓悟的過程，而是一個時間和知識的積累的過程，在學(xué)習(xí)的開始階段，可能學(xué)生對一個知識的概念掌握的并不明確，但這并不影響學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中去運用這個知識點，而在此過程中，學(xué)生頭腦中會不斷完善對這個知識點的理解。教師需要在學(xué)生理解的過程中為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一定的條件，課程改革中強調(diào)本質(zhì)，適度形式化就遵循了學(xué)生的這一積累說的理解規(guī)律。

3 關(guān)于新課程微積分的思考——初等數(shù)學(xué)思維和高等數(shù)學(xué)思維之間如何進行過渡

“韜爾把數(shù)學(xué)劃分為三個不同的世界:具體化世界、過程概念化世界和形式化世界。在這三個世界之間，不僅有著表征方式的差異，也存在著認知方式的差異。”［8］，具體化世界包括感知，行為以及對感知和行為的反應(yīng);過程概念化世界主要涉及一些符號，諸如微積分中的符號;形式化世界包括定義和證明，它們導(dǎo)致了公理化理論體系的形成。按照韜爾的解釋，這三個世界在認知上是按順序發(fā)展的。中國課程改革的趨向和這一對數(shù)學(xué)三個世界的劃分體系是有相通之處的，了解學(xué)生的已有思維和認知習(xí)慣，把握好學(xué)生的思維間的過渡，對學(xué)生更好的理解課程內(nèi)容和課程改革的發(fā)展是大有益處的。

初等數(shù)學(xué)的思維向高等數(shù)學(xué)思維的過渡過程可以用這三個世界之間的遞進關(guān)系來表示。以導(dǎo)數(shù)為例，導(dǎo)數(shù)的概念可以按這三個世界來劃分:具體化的世界中，導(dǎo)數(shù)可以理解為在某一點處的瞬時變化率;在過程概念化的世界里，導(dǎo)數(shù)就是極限運算的結(jié)果;形式化的世界里，導(dǎo)數(shù)的定義為:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義存在，則稱函數(shù)f在點x0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點x0處的導(dǎo)數(shù)。

首先，在具體化的世界里，用形象直觀的瞬時變化率去感知導(dǎo)數(shù)的概念，這是初等數(shù)學(xué)思維。然后過程化概念世界里從具體的動作開始，即極限的計算，從具體的計算逐步發(fā)展出和，積，商等符號化的形式，這個世界的符號的使用很重要，這些符號有著具體化世界和過程概念化世界的雙重性質(zhì)，伴隨著學(xué)生的成長，這兩個世界會逐步的健全，直至到第三世界，形式化世界，用科學(xué)嚴謹?shù)男问交Z言定義導(dǎo)數(shù)的定義，即到達高等數(shù)學(xué)思維。高中學(xué)生的認知水平對概念的掌握有一定的制約性，如高中生可以用具體化的世界的瞬時速度去理解導(dǎo)數(shù)，但對極限的定義表示難理解，大學(xué)生則可以用形式化世界抽象的極限定義去理解導(dǎo)數(shù)，這之間初等數(shù)學(xué)思維向高等數(shù)學(xué)思維的過渡就需要教師把握好。

從初等數(shù)學(xué)思維向高等數(shù)學(xué)思維過渡的過程中，教師應(yīng)該給學(xué)生提供一定的幫助，可以設(shè)置一些易引起學(xué)生疑惑和驚奇的問題，在學(xué)生不能前進時給予指導(dǎo)，使學(xué)生在這三個世界中逐層遞進，最終體會到茅塞頓開的愉悅，對提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力也是大有好處的。初等數(shù)學(xué)思維向高等數(shù)學(xué)思維過渡的過程在這三個世界之間是水到渠成的過程還是一個突然變化的過程是受很多因素影響的，如學(xué)生的日常經(jīng)驗，感知覺的差異，已有的知識背景等，而且在初等數(shù)學(xué)思維向高等數(shù)學(xué)思維過渡的過程中，可能不斷會有干擾因素出現(xiàn)影響學(xué)生的認知，使三個世界的邏輯發(fā)生混亂。所以，從初等數(shù)學(xué)思維向高等數(shù)學(xué)思維的過渡是一件很不容易的事情，具體需要什么樣的教學(xué)安排和教學(xué)準備，仍需要進一步的研究，以推動課程改革的迅速發(fā)展。

任何事物的變化都是漸進的，教育領(lǐng)域中也是如此，我國的數(shù)學(xué)教育正在經(jīng)歷著由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變的重要改變，在這個背景下，課程改革勢在必行。眾多的教育專家和一線教師用他們的專業(yè)素質(zhì)和教學(xué)智慧進行著課程改革，面對與時俱進的挑戰(zhàn)，我們應(yīng)該認真鉆研嘗試教學(xué)理論，用理論結(jié)合課程標準，結(jié)合新教材，結(jié)合學(xué)生的實際情況，中國的數(shù)學(xué)課程需要在保證必要的基礎(chǔ)上，大力改革，以適應(yīng)21世紀時代發(fā)展與科技進步要求的數(shù)學(xué)課程體系，提高數(shù)學(xué)教學(xué)水平。

［1］王尚志，張飴慈等.理解與實踐高中數(shù)學(xué)新課程—與高中數(shù)學(xué)教師的對話［M］.北京:高等教育出版社9－10.

［2］張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論［M］.北京:高等科學(xué)出版社，2003.

［3］嚴士鍵，張奠宙，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)解讀［M］.南京:江蘇教育出版社，2004.

［4］宋寶和，房元霞.逾越形式化極限概念的微積分課程［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13(4):54 －56.

［5］徐永琳.高中“課程”與“大綱”中微積分課程比較研究及啟示［J］.數(shù)學(xué)通報，2007，46(7):22－25.

［6］曾憲源，方明一.關(guān)于在我國高中講授微積分初步的探討［J］.課程·教材·教法，1982(1):63－65.

［7］陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1993.2.4.

［8］鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程［M］.上海:上海教育出版社，2009.