基于改進灰色模型的TBM末段機動彈道預測分析*

趙瑞琪,劉付顯,張 搏

(空軍工程大學導彈學院,陜西三原 713800)

0 引言

戰術彈道導彈(tactical ballistic missile,TBM)的末段機動變軌是一種重要的突防手段。彈頭再入大氣時可以采用機動滑翔彈道[1],這時,彈頭多次采用變軌技術改變彈道,使防空反導武器系統難以跟蹤、識別和攔截,在部隊的實際訓練中,大大降低了攔截概率。針對機動彈道的預測,最理想的方法是研究TBM的空間六自由度運動,建立相應的動力學方程、質量方程、幾何關系方程、控制關系方程等并求解彈道[2]。利用這種方法不僅浪費時間,還不經濟。并且,TBM飛行速度極快,能夠用于彈道求解的數據量少,且離散度大,很難滿足作戰需求。

針對以上問題,文中立足灰色系統理論,提出了基于區間預測[3]的Verhulst預測[3]新方法對 TBM末段機動彈道進行預測。在數據量少、數據離亂的情況下,利用簡單的算法建立了目標軌跡的實時預測模型,給出了滿意的彈道預測數據。經驗證,方法的經濟性好,計算簡便。

1 基于區間分析的Verhulst預測

區間預測雖然能夠很好的解決數據的離亂問題,但是預測模型的輸出是一組取值區間,而且區間的范圍可能會很大,這肯定不能滿足Verhulst模型預測的原始數據要求,當然也滿足不了作戰的需求。

因此,文中在原有發展帶區間預測[3]的基礎上,利用發展帶上下界的曲線,在發展帶包絡的中心取點,作為Verhulst模型的原始數據,進行預測。

具體計算步驟如下:

步驟1:

對樣本序列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(k)},從中從后向前依次去掉一個數據,構成3組新序列,與原序列構成4個不同的序列:并對序列依次采取步驟2。

步驟2:

對原始樣本序列為x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(k)},求序列的一次累加生成序列,即1-AGO。

得到生成序列,x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(k)},據此建立關于x(1)(k)的一階線性白化微分方程:

利用最小二乘法解參數a、b為:

步驟3:

在所得兩個發展帶的基礎上,利用下式求出Verhulst模型的輸入數據:

圖1 Verhulst模型樣本點選取示意圖

Verhulst模型的樣本點的選取如圖1所示。

步驟4:

對于新序列x(0),構造一次累加生成序列(1-AGO)x(1),接著構造作為GM(1,1)冪模型的白化方程。利用式:進行Verhulst預測,最終所得結果即為預測值。

2 TBM的機動彈道預測

2.1 機動速度坐標系

由于影響地空導彈對機動TBM攔截的主要因素是TBM機動方向的速度,因此文中在速度坐標系[4]的基礎上,引入機動速度坐標系。

圖2 機動速度坐標系示意圖

機動速度坐標系如圖 2所示。圖中:O1為坐標原點,取彈頭質心;O1x3其指向與彈頭在機動開始時刻的速度方向一致;O1y3為彈頭的機動方向在與O1x3軸垂直的平面內的投影;O1z3垂直于O1x3和O1y3軸,其指向按右手法則確定。

2.2 實例驗證

2.2.1 算例

由于側向機動對彈頭原始速度方向即O1x3軸速度分量影響不大,故僅考慮彈頭O1y3軸方向位移。已知每隔時間Δt測得的彈頭在軸位移量(即樣本數據)為{497,724,901,1429},其一次累加序列為{497,1221,2122,3551}。

下面是利用GM(1,1)模型預測、Verhulst模型預測和基于區間預測的Verhulst預測所得到的預測數據(預測值、模擬值、殘差和相對誤差[3])對比:

表1 GM(1,1)模型預測數據

表2 Verhulst模型預測數據

表3 基于區間預測的Verhulst模型預測數據

預測數據對比可以用圖3表示。

圖3 預測數據對比圖

2.2.2 結果分析

從上述圖表可以得出結論:

1)從表格中可以看出,相比于傳統GM(1,1)模型預測方法,新方法具有良好的收斂性,與 TBM 末段5km左右的機動半徑[1]的事實比較相符。

2)相比于傳統Verhulst模型預測方法,新方法的相對誤差明顯減小,平均相對誤差僅有2.0%,然而傳統Verhulst模型預測的相對誤差最小的也有10.0%。

通過以上兩點,足以說明,基于區間預測的Verhulst模型預測方法具有對少量、離散數據樣本預測的巨大優勢。

3 結束語

在已有的區間預測和Verhulst模型預測的基礎上,綜合兩者的優點得出了基于區間預測的Verhulst預測新方法,并將其應用到TBM機動彈道的預測當中,較好的解決了TBM機動彈道徑向偏移呈S形增長的預測問題。通過仿真算例的對比,證實了新方法具有相對誤差小、收斂性好的特點,在工程中有一定的應用價值。

[1]袁俊.導彈防御系統的彈道導彈突防[J].上海航天,2005,22(1):48-51.

[2]陳有偉,韓俊杰,賀從中,等.始終處于大氣層內飛行的TBM被動段彈道預測[J].現代防御技術,2007,35(1):18-22.

[3]劉思峰,黨耀國,方志耕.灰色系統理論及其應用[M].北京:科學出版社,2004.

[4]張毅,楊耀輝,李俊莉.彈道導彈彈道學[M].長沙:國防科技大學出版社,1999.

[5]陳永軍,張毅.打擊復雜地形的導彈再入機動彈道設計[J].飛行力學,2004,22(3):53-56.

[6]陳烺中,樊蓉,王冠男,等.TBM末段機動彈道預測[J].電光與控制,2006,13(4):9-12.