一種基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三參數反演方法

袁 煥，王宇超，石蘭亭，胡自多，袁 剛

（中國石油勘探開發研究院西北分院）

0 引言

AVO反演技術能夠提供高精度的有關儲集層物性、孔隙流體及裂縫分布等方面的特征參數，甚至可用其直接檢測油氣，在勘探和開發中占據著越來越重要的位置［1-3］。

AVO反演經常采用雙參數方程估計參數，算法雖穩定，但是參數估計會產生較大誤差，并缺失了密度信息［4］。而密度信息可提供多種巖性、物性信息，具有極其重要的意義。AVO三參數反演能夠提供密度信息，但該方法容易受噪音和采集過程中不確定因素的影響［5］，反演不穩定。為了提高AVO三參數反演的穩定性，需要在反演過程中進行合理的約束［6］，其中將先驗信息納入反演過程的方法取得了很好的效果［5-14］。

然而，隨著油氣勘探開發的不斷深入，易勘探、成套的大型油氣藏已越來越少，這就迫切要求高分辨率地震勘探開發技術必須要獲得層間某些能體現隱蔽性油氣藏屬性的弱反射體信息［15］。Alemie等［12］提出的高分辨率Cauchy分布具有較高的分辨率，但是噪音較大時收斂速度較慢。筆者基于貝葉斯理論，將同一時間采樣點的三參數互相關，并對縱、橫波反射率和密度反射率序列采用修正Cauchy正則化約束項，提出了一種高分辨率AVO三參數波形反演方法，采用迭代算法求解，快速得到了較可靠的反演結果。

1 正演模型的建立

AVO技術的理論基礎是Zoeppritz方程及其近似公式。筆者采用Aki&Richards近似公式進行正演模擬，其方程為式中：R（）為與角度有關的反射系數；為橫波速度和縱波速度的比值；rp為縱波反射率；rs為橫波反射率；rd為密度反射率；為分界面的入射角和透射角的平均值，rad。

將子波引入式（1），并將問題擴展到m個入射角道集、n個時間采樣點，則可以得到多個入射角道集、多個時間采樣點的褶積模型，簡記如下：

式中：G為包含子波矩陣和入射角的線性化算子；m為參數向量；d為觀測數據；n為噪音或者誤差。式（2）即正演模擬函數。

2 反演目標函數的建立

對于參數正則化約束項的選擇，比較常用的有P 范數分布、Huber分布、Sech 分布、Cauchy 分布［15］，如表1所示。通過比較發現，修正Cauchy分布不僅能夠獲得大幅值、體現主要層位信息的強反射體信息，同時還能夠較好地保護隱蔽型油氣藏的弱反射信息［11］。筆者基于貝葉斯理論，對反射率序列采用修正Cauchy正則化約束項，并將表示三參數關系的協方差矩陣納入先驗約束項，提出了一種改進的基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三參數波形反演方法。噪音一般具白噪特征，可假設其服從零均值的高斯分布，模型參數服從某種先驗分布，后驗概率密度分布函數極值的最大值等同于求下式的最小解［12］

表1 幾種常用的正則化約束項Table1 Some common typesof constraint criterion

對參數采用修正Cauchy約束準則，然后對修正Cauchy約束進行改進，以進一步提高反演結果的分辨率，可得

其中

式中：Di是 3×（3n）的矩陣；若 Ci非奇異，則其為第 i個時間采樣點處三參數協方差矩陣，若Ci奇異，則其為單位矩陣。式（4）即為筆者提出的改進的修正Cauchy約束項。 當時，即為高分辨率 Cauchy 分布［12］。

圖1為表1中各約束項準則及筆者提出的方法對反射體的敏感性比較。從圖中可以看：①這些準則對反射體普遍敏感，不同程度地突出了反射體信息，其中筆者提出的方法對弱反射體敏感性更強；②當m值繼續增大時，保證了增長的收斂性。

圖1 幾種約束準則比較（考慮到對稱性，圖中僅畫出了正半剖面）Fig.1 Com parison of typesof constraint criterion

對于弱反射體信息（圖2），從各稀疏準則對弱反射體的響應結果可以看出，各稀疏準則對其均有不同程度的壓制，但筆者提出的方法響應最強，對弱反射體的敏感性最好，較好地保護了弱反射體信息。

圖2 圖1中弱反射體局部放大圖Fig.2 Localamp lification response for weak reflection body

其中

若噪音互不相關，那么噪音協方差矩陣是對角矩陣，式（7）可簡化為

3 模型測試

模型參數如圖3紅色實線所示，選用Ricker子波進行正演模擬。給出相同的初始模型，最大迭代次數設為30，反演參數向量與模型參數向量的均方根誤差極小值所對應的迭代次數如表2所示。由表2可以看出，誤差最小時筆者提出的方法迭代次數最少，收斂速度最快。在不同信噪比情況下，模型參數與反演結果之間的均方根誤差值如圖4所示。由圖4可知，筆者提出的方法受噪音的影響最小，誤差也最小，分辨率更高。對比筆者提出的改進的修正Cauchy分布和高分辨率Cauchy分布2種不同的約束方法，信噪比為10時，反演結果如圖3所示，可見：①筆者提出的方法和高分辨率Cauchy分布約束方法都能較準確地反演出模型信息，特別是大的反射體信息；②筆者提出的方法相比于高分辨率Cauchy分布約束方法，對弱反射體敏感性更強，更有效地保護并恢復了弱反射體信息，其反演結果的分辨率更高。

表2 3種約束方法反演最小誤差對應信噪比-迭代次數表Table2 Iterations responding tom inimum error at different signal to noise ratios

4 結論

筆者從貝葉斯反演理論出發，提出了一種改進的基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三參數波形反演方法。從數值模擬的結果看，該方法能較好地恢復弱反射體信息，更快速地得到高分辨率的反演結果。

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