低滲透儲層容易產生高速非Darcy流嗎？

李傳亮

（西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室）

0 引言

符合Darcy方程的流動，稱作Darcy流。Darcy流的滲流速度與壓力梯度呈線性關系，因此也稱作線性流。不符合Darcy方程的流動，稱作非Darcy流。非Darcy流的滲流速度與壓力梯度呈非線性關系，因此也稱作非線性流［1］。Darcy流是層流所致，而非Darcy流則由湍流（紊流）所致，湍流只發生在較高的Reynolds數下，而在生產過程中高Reynolds數對應較高的滲流速度。

與Darcy流相比，高速非Darcy流消耗更多的地層能量，流動效率較低，因此，生產過程中一般應避免出現高速非Darcy流。

現在的問題是，到底是高滲透儲層容易出現高速非Darcy流，還是低滲透儲層容易出現？高速非Darcy流出現的條件是什么？這是一個沒有得到很好解決的理論問題，筆者擬對此進行研究，以便更好地指導生產。

1 非Darcy流

1886年Darcy建立的Darcy方程為［2-3］

式中：q 為流量，m3/ks；A 為巖石滲流截面積，m2；μ為流體黏度，mPa·s；Δp 為流動壓差，MPa；ΔL 為巖石長度，m；k為巖石滲透率，D。

式（1）也可以寫成微分方程的形式：

式中：V 為滲流速度，m/ks；dp/dx為壓力梯度，MPa/m。

由圖1可看出，落在Ⅰ區的數據符合Darcy方程，為 Darcy 流，可用式（1）或式（2）描述，而落在Ⅱ區的數據不符合Darcy方程，為非Darcy流，不能用式（1）或式（2）描述。顯然，非Darcy流需要消耗更

圖1 滲流指示曲線Fig.1 Flow index curve

式中：β為非Darcy滲流系數，pm-1，通常稱作慣性阻力系數或湍流系數。

由式（3）可看出：當 β=0 時，Forchheimer方程變成Darcy方程，亦即為Darcy流；β的數值越大，非Darcy流越嚴重；β的大小反映了儲層中高速非Darcy流的程度。

β沒有理論計算公式，前人的一些實驗研究給出了以下形式的統計規律［4］多的能量，才能產生與Darcy流相同的滲流速度或流量。

由圖1還可看出，非Darcy流發生在較高的滲流速度條件下。人們通常采用Forchheimer提出的方程描述高速非Darcy流，Forchheimer方程為［4］

另外一些實驗結果為［5］

式中：c，m，m1，m2為曲線擬合常數；φ 為孔隙度，%。

式（4）—式（5）顯示，滲透率或孔隙度越低，儲層越容易產生高速非Darcy流。

2 非Darcy流產生的條件

式中：Re 為 Reynolds數，dless；ρ為流體密度，g/cm3；d為管道直徑，m；v為流體速度，m/s。

根據大量的實驗結果繪制的阻力系數λ與Reynolds數之間的關系曲線見圖2。當Reynolds數較低時，阻力系數與Reynolds數之間呈線性關系，此時為層流。當Reynolds數增大到一定數值后，阻力系數與Reynolds數之間呈非線性關系，此時為湍流。顯然，湍流的阻力系數比相同Reynolds數時的層流的阻力系數高，即湍流存在附加的能量損失，二者的阻力系數差為b（圖2）。湍流開始時的Reynolds數稱作臨界Reynolds數。人們通過大量的實驗研究發現，管流的臨界 Reynolds數大約為 2 000［6］。 湍流與層流的阻力系數滿足下式：

非Darcy流是由湍流所致，湍流產生的條件一般用Reynolds數進行判斷。管道中流動的Reynolds數計算公式為［6］

圖2 λ與Re關系曲線Fig.2 Curve of relation between λ and Re

式中：λt為湍流的阻力系數，dless；λL為層流的阻力系數，dless；b為湍流與層流的阻力系數差，dless。

很顯然，b是Reynolds數的函數，隨Reynolds數的增大而增大，可近似寫成式中：a為曲線常數；n為曲線指數，n＞1。

當流體在多孔介質中流動時，由于流動通道（孔隙）的粗糙度較大，臨界Reynolds數大幅度減小。根據實驗研究，多孔介質的臨界Reynolds數大約在5 以下［7-8］。

流體在多孔介質中的滲流速度由式（2）計算，而真實速度則由下式計算：

式中：v為真實速度，m/ks。

把式（9）代入式（6），得

由式（10）可看出，孔隙直徑越小，儲層的滲透率和滲流速度越低，Reynolds數就越小，從而越不容易產生高速非Darcy流。因此，高速非Darcy流易于出現在高滲透儲層中，這與式（4）和式（5）的實驗規律正好相反。

3 Darcy流方程

式中：hf為水頭損失，m；L 為管子長度，m；g為重力加速度，m/s2。

把式（11）寫成壓差的形式：

層流狀態下管流的沿程水頭損失為［6］

層流狀態下阻力系數與Reynolds數的關系滿足下式［6］：

再把式（12）寫成壓力梯度的形式：

層流狀態下阻力系數與Reynolds數的關系滿足下式［6］：

把式（14）和式（6）代入式（13），得

把式（9）代入式（15），得

多孔介質的Kozeny-Carman方程可以寫成［9］

把式（17）代入式（16），即得到式（2）形式的Darcy方程，因此，Darcy流與層流是相對應的。

4 非Darcy流方程

把式（13）中的 λL換成 λt，得湍流狀態下管流的壓力梯度計算公式為

把式（7）代入式（18），得

式（19）可以改寫成

把式（20）與式（3）進行對比，可得

把式（8）和式（10）代入式（21），得

由式（22）可以看出，非Darcy滲流系數β的影響因素較多，并非只是滲透率或孔隙度的函數。孔隙直徑越小，滲透率越低，滲流速度就越低，非Darcy滲流系數β的數值也就越小。因此，低滲透儲層的高速非Darcy流并不嚴重，這與式（4）和式（5）顯示的邏輯關系正好相反，也說明式（4）和式（5）的實驗統計規律不正確。

5 結論

（1）Darcy流對應層流，非Darcy流對應湍流。

（2）高滲透儲層容易產生高速非Darcy流，低滲儲層不容易產生。

（3）低滲透儲層中的高速非Darcy流并不嚴重。

（4）低滲透儲層的流動極其困難，產量極低，生產過程不必考慮高速非Darcy流的影響。

［1］李傳亮.油藏工程原理［M］.北京：石油工業出版社，2005：46-47.

［2］葛家理.油氣層滲流力學［M］.北京：石油工業出版社，1982：22-24.

［3］翟云芳.滲流力學：第二版［M］.北京：石油工業出版社，2003：10-12.

［4］Dake L P.Fundamentals of reservoir engineering［M］.Elsevier Scientific Publishing Company，Amsterdam，1978：255-260.

［5］Jones SC.Using the inertial coefficient，B，to characterize heterogeneity in reservoirrock［C］.SPE Annual Technical Conference and Exhibition.Dallas，1987：255-260.

［6］賀禮清.工程流體力學［M］.北京：石油工業出版社，2004：139-160.

［7］孔祥言.高等滲流力學［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，1999：32-34.

［8］Bear J.多孔介質流體動力學［M］.李競生，陳崇希，譯.北京：中國建筑工業出版社，1983：95-97.

［9］何更生.油層物理［M］.北京：石油工業出版社，1994：42-44.