基于LMI的隨機時滯神經網絡的全局漸近穩定性分析

楊紅艷, 夏茂輝, 于 玲, 李海龍

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

基于LMI的隨機時滯神經網絡的全局漸近穩定性分析

楊紅艷, 夏茂輝, 于 玲, 李海龍

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

研究了一類時變時滯與分布時滯的隨機神經網絡模型的全局漸近穩定性，該模型考慮了神經網絡的隨機擾動性.通過構造適當的Lyapunov泛函，以線性矩陣不等式的形式給出了系統全局漸近穩定的充分條件.最后，數值算例說明了結果的正確性.

隨機神經網絡； 分布時滯； 全局漸近穩定； Lyapunov 泛函

0 引言

神經網絡是一種特殊結構的動力系統,已被成功地應用到很多領域,如信號處理、非線性代數微分方程的求解.由于神經網絡系統常常受到隨機因素的干擾以及系統本身存在延時, 所以出現了隨機神經網絡模型.近年來，對隨機時滯神經網絡全局穩定性的研究已取得了一些有益的成果[1-2].

到目前為止，時滯神經網絡的大部分工作是處理帶有分布時滯神經網絡的穩定性問題，由于軸突的大小和長度的不同，以及并行通道的存在，神經網絡具有空間的特性，所以描述神經網絡的模型一般都引入沒有界限的時滯.許多學者對帶有分布時滯的隨機神經網絡有很大的研究興趣.文獻[3-4]研究了含有無界分布時滯神經網絡的全局穩定性，然而隨機性在模型中沒有給于考慮.文獻[5]雖然引用了分布時滯，但分布時滯是有界的.在[6-10]的基礎上，研究了無界分布時滯的隨機神經網絡的全局漸近穩定性.通過構造適當的Lyapunov泛函，結合不等式技巧，以線性矩陣不等式的形式，建立了帶有無界分布時滯的隨機神經網絡系統全局漸近穩定的新判據.

1 預備知識

考慮含有微分積分系統的連續時滯神經網絡

(1)

或者

(2)

其中，i=1,2,…,n,n表示神經網絡細胞的個數，xi(t)是時刻t第i個神經細胞的狀態，x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T∈Rn,(x(t))=[1(t),2(t),…,n(t)]T∈Rn在時刻t第j個神經細胞的激勵函數，D=diag(d1,d2,…,dn)>0是正對角矩陣，A=(aij)n×n,B=(bij)n×n,C=(cij)n×n分別是反饋矩陣、時滯反饋矩陣和反饋矩陣，I=(I1,I2,…,In)T是外部輸入向量，kij(s)在[0,+∞)→[0,+∞)連續有界且滿足是任意非負連續函數，并且滿足其中τ,u是已知常數.

要求每個fj(j=1,2,…,n)是有界的并且滿足條件H.

系統(1)的初始條件xi(t)=?i(t),t∈[-τ,0],i=1,2,…,n,其中?i(t)是定義在[-τ,0]上的連續函數.

y(t)=x(t)-x*,y(t-τ(t))=x(t-τ(t))-x*,

則系統(2)變成以下形式

(3)

由假設H我們得知對于每一gj(·)都滿足

H1gj(0)=0,

H2|gj(ζj)|≤Lj|ζj|,?ζj∈R,

H3gj2(ζj)≤Ljζjgj(ζj),?ζj∈R.

下面考慮如下一類帶有時變時滯和分布時滯的隨機神經網絡

其中i=1,2,…,n;gj(yj)=j(yj+xj*)-gj(xj*);w(t)=(w1(t),w2(t),…,wn(t))T是定義在完備的概率空間(Ω,F,P)上具有{Ft}t≥0自然流的m維Brown運動，w(s):0≤w(s)≤t.σ(t,x,y):R+×R×R→Rn×m滿足Lipschitz連續和線性增長條件，σ(t,x*(t),x*(t-τ(t)))=0.

2 主要結果

Θ=(u-1)Q1+P2

證明選擇下面的Lyapunov 泛函

V(y(t),t)=V1(y(t),t)+V2(y(t),t)+V3(y(t),t)+V4(y(t),t);

其中,

V1(y(t),t)=yT(t)Py(t);

由此可以推出

LV(y(t),t)≤yT(t)[-2PD+P1+Q1]y(t)+2yT(t)PAg(y(t))+2yT(t)PBg(y(t-τ(t)))+

E)g(y(t))+2βgT(y(t))MBg(y(t-τ(t)))+

所以LV(y(t),t)≤ζT(t)Ξζ(t)+yT(t-τ(t))Θy(t-τ(t)).

Θ=(u-1)Q1+P2,

因此，對于系統模型(4)在任何狀態下保證LV(y(t),t)為負定的充分條件是Θ<0,Ξ<0,這就意味著系統(4)的平衡點是全局漸近穩定.

當定理1中β=1，易得到推論1.

推論1對于系統(4)，如果存在矩陣P=diag(pi)n×n>0,P1≥0,P2≥0,使得trace[σT(t,y(t),y(t-

Θ=(u-1)Q1+P2

推論2對于系統(3),如果存在正定矩陣P,Q1,Q2，正定對角矩陣M,E，以及β>0滿足Θ<0,Ξ<0，則系統(3)是全局漸近穩定.其中,

Θ=(u-1)Q1

3 數值算例

考慮隨機無界分布時滯神經網絡(4),并給出算例仿真實驗.神經網絡模型如下

dy1(t)=[-3y1(t)-g1(y1(t))+0.5g2(y2(t))-0.5g1(y1(t-τ(t)))+

dy2(t)=[-4.5y2(t)+0.5g1(y1(t))-g2(y2(t))+0.1g1(y1(t-τ1(t)))-

(5)

其中,激勵函數gi(x)tanh(x),τ1(t)=0.6+0.5sint,τ2(t)=0.6+0.5cost,ki(t-s)=e-(t-s).時滯反饋矩陣A,B,C,D分別是

由定理1，應用matlab的LMI工具箱,可以得到系統模型(5)是全局漸近穩定的可行解

通過仿真圖圖1可以看出,系統模型(5)是全局漸近穩定的.

圖1 隨機神經網絡的全局漸近穩定性

[1] Wan L, Sun J H．Mean square exponential stability of stochastic delayed Hopfield neural networks[J]. Phys Lett A, 2006, 343(4):306-318．

[2] Wang Z D, Shu H S, Fang J A, et al．Robust stability for stochastic delay Hopfield neural networks with time delays[J]．Nonlin Anal: Real World Appl, 2006,7(5):1119-1128．

[3] Ruan S G, Filfil R S. Dynamics of a two-neuron system with discrete and distributed delays[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena,2004,191(3/4):323-342．

[4] Zhao H Y. Global asymptotic stability of Hopfield neural network involving distributed delays[J]. Neural Networks, 2004,17(1):47-53．

[5] Wang Z D, Liu Y R, Fraser K,et al．Stochastic stability of uncertain Hopfield neural networks with discrete and distributed delays[J]．Phys Lett A,2006,354 (4):288-297．

[6] 陳武華，盧小梅，李群宏．隨機Hopfield 時滯神經網絡的均方指數穩定性：LMI方法[J]．數學物理學報,2007,27A(1):109-117．

[7] 趙碧蓉，江明輝，沈鐵．隨機時滯神經網絡的全局指數穩定性[J]. 控制理論與應用, 2005, 22(5):799-801．

[8] 馮偉,張偉, 吳海霞. 不確定隨機離散分布時滯神經網絡的魯棒穩定性[J]. 計算機應用研究,2009,26(4):1222-1225.

[9] 劉德友, 張建華,關新平．基于LMI的時滯神經網路的全局漸近穩定性分析[J]．應用數學與力學,2008,29(6):735-740．

[10] 羅日才，許弘雷．隨機變時滯神經網絡的全局漸近穩定性[J]．通信技術, 2009,42(6):197-199．

GlobalAsymptoticStabilityAnalysisofClassofStochasticDelayNeuralNetworks

YANG Hong-yan，XIA Mao-hui，YU Ling，LI Hai-long

(SchoolofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004，China)

Global asymptotic stability for a class of stochastic neural networks with time-varying delays and distributed delay was studied. By constructing suitable Lyapunov functionals and combining with matrix inequality technique, a simple sufficient condition was presented for global asymptotic stability in the mean square of stochastic neural networks with time-varying delays and distributed delay. By LMI toobox, it demonstrated the usefulness of the new proposed global asymptotic stability criteria.

stochastic neural networks; distributed delay; global asymptotic stability; Lyapunov functionals

TP 183

A

1671-6841(2011)03-0048-05

2010-07-10

燕山大學博士基金資助項目，編號B272.

楊紅艷(1982-),女，碩士研究生，主要從事神經網絡的穩定性研究,E-mail:yanghongyan3190845@163.com；通訊作者：夏茂輝(1964-),男,教授,主要從事無網格方法研究,E-mail:zhizihua666@126.com.