Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程族及其廣義雙 Hamiltonian結構

楊本朝，耿獻國

(1.信息工程大學 信息工程學院 河南 鄭州 450002； 2.鄭州大學 數學系 河南 鄭州 450001)

Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程族及其廣義雙Hamiltonian結構

楊本朝1，耿獻國2

(1.信息工程大學 信息工程學院 河南 鄭州 450002； 2.鄭州大學 數學系 河南 鄭州 450001)

基于帶有兩個位勢的4×4矩陣譜問題，導出一族非線性演化方程，其中一個典型成員是Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程.進而證明了這族方程具有廣義雙Hamiltonian結構并且在Liuovlle意義下是完全可積的.

Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程族； 廣義雙Hamiltonian結構； 可積性

0 引言

文獻[1-2]獨立地引入非線性演化方程

(1)

找到了這個方程的一個Lax對和一孤子解并發現它可作為KP族的四約化的特殊情況.文[3]應用Weiss方法給出這個方程的Backlund變換及其特解.文[4]借助 Cole-Hopf變換和顯函數的展開法研究了這個方程，并獲得孤子解、多孤子解和周期解等[5-6].

本文首先從帶有兩個位勢的4×4的矩陣譜問題出發,

(2)

其中u,v是兩個位勢，λ是常值譜參數，利用Lenard遞推關系及零曲率方程導出一族非線性演化方程，其中一個是Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程(1)，另一個是五階非線性演化方程

(3)

當v=0時，方程(3)約化為五階KdV方程，進而證明了這族方程在Lax意義下是完全可積的.利用跡恒等式[7]獲得它們的雙Hamiltonian結構.

1 非線性演化方程族

為了得到與譜問題(2)相關的非線性演化方程族，我們求解定態的零曲率方程

Vx=[U,V],V=(Vij)4×4,

(4)

其中Vij=Vij(a,b)是關于λ的Laurent展開，即

(5)

把(5)代入(4)得

KG=λJG,G=(a,b)T,

(6)

其中K和J是兩個斜對稱算子，

將(5)的后兩式代人(6)并比較λ相同冪的系數得:

KGj=JGj+1,JG0=0,

(7)

(8)

為了得到(7)式的一般解，引進兩組Lenard遞推方程：

(9)

假定y滿足譜問題(2)和相應的時間發展式:

yt=V(m)y,V(m)=(λmV)+,m≥0,

(10)

其中+表示λ的非負次冪項，由(1)和(10)的相容性條件得到零曲率方程Utm-Vx(m)+[U,V(m)]=0，此即是非線性演化方程族

(11)

(12)

(13)

當t1=t時, (13)即為方程(3).

2 廣義雙Hamiltonian結構和可積性

為了得到非線性演化方程族(11)的Hamilton結構，首先計算式子：

由跡恒等式[7]，可得：

其中ε1，ε2是待定常數.通過比較λ-j-1兩邊的系數得:

為了得到ε1，ε2的值，在式子中固定j=0，得到ε1=-3/4，ε2=-1/4.由此推出

則方程族(11)可寫為廣義雙Hamiltonian形式

(14)

易證明K,J都是辛算子，滿足K=JL,JL=L*J.由此得Possion括號定義為

{f,g}=(δf/(δu),J(δg)/(δu)).

(15)

由(14)式得

因此{Hn}是方程族ut=JLnf(s)的一列守恒密度，且滿足對合條件{Hn,Hm}=0，其中Possion括號由(15)式定義，所以方程族(11)是在Liouville意義下可積的.

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Drinfeld-Sokolov-Satsuma-HirotaEquationsandGeneralizedBi-HamiltonianStructures

YANG Ben-chao1，GENG Xian-guo2

(1.InformationEngineeringUniversityofthePeoplesLiberationArmy,Zhengzhou450002，China; 2.DepartmentofMathematics,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,China)

A hierarchy of nonlinear evolution equations was derived from a matrix spectral problem with two potentials,in which a typical member was the Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota equation .It was shown that the hierarchy of nonlinear evolution equations possessed the generalized bi-Hamiltonian structures and was completely integrable in the Liuovlle sense.

Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota equations； generalized bi-Hamiltonian structures； integrability

O 175

A

1671-6841(2011)03-0031-03

2010-03-25

楊本朝(1981-)，男，助教，碩士，主要從事孤立子與可積系統研究，E-mail: yang_benchao@yahoo.com.cn .