帶有極大值項的奇階中立型差分方程的漸近性

高艷花, 鐘曉珠，劉 娜, 李國琴，趙所所

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

帶有極大值項的奇階中立型差分方程的漸近性

高艷花, 鐘曉珠，劉 娜, 李國琴，趙所所

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

考慮了一類帶有極大值項的奇數階中立型差分方程的非振動解的漸近性，得到了該類方程的解非振動的一些充分條件，推廣了已有文獻的相關結果.

奇數階中立型差分方程； 非振動解； 極大值； 漸近性

0 引言

考慮中立型差分方程

(1)

其中，{pn}是實數列，{qn}是非實數列.n∈N(n0)={n0,n0+1,…}，l和k為正整數，且k≥l，m為正奇數，Δ=xn+1-xn.

當m=1時，方程(1)變為

(2)

對于方程(2)的振動性及漸近性，文[1-2]得到了一些好的結果.當m=2時, 方程(1)為二階中立型差分方程，文[3-6]討論了此類方程的振動性和漸近性.當m>2時，文[7]僅討論了方程解的振動性問題，也得到了一些充分條件.本文將討論m大于1的奇整數的情形下方程(1)的非振動解的漸近性問題.

方程(1)的解{xn}稱為非振動的，如果{xn}最終為正或最終為負；否則稱{xn}為振動的，即{xn}既不最終為正也不最終為負.

本文中，定義{zn}為

zn=xn+pnxn-k,

(3)

則方程(1)可變形為

(4)

1 基本引理

引理1[5]若當n≥n0時，zn>0且Δmzn(≠0)是常號的，則存在整數i(0≤i≤m)滿足：當Δmzn≤0時，i+m為奇數；當Δmzn≥0時，i+m為偶數.并且，對充分大的n，

(i)當i≤m-1時，(-1)i+jΔjzn>0,i≤j≤m-1;

(ii)當i≥1時，Δjzn>0,1≤j≤i-1.

引理2[6]若存在常數p<0使得p

2 主要結論及證明

定理1假設下列條件滿足：

H1pn≡1；

證明設{xn}是方程(1)的最終正解，則zn=xn+xn-k>0.由(4)知Δmzn≤0成立，所以{Δm-1zn}為非增數列.因為qn不恒等于0，所以Δmzn也不恒等于0.

(5)

(6)

(7)

既然{Δm-1zn}為正的非增數列，則{Δm-1zn}必有正的下界.另一方面，H2意味著當n→∞時(7)的右端式子趨于負無窮.因此有

(8)

對(4)從n1到n-1求和得

(9)

定理2假設下列條件滿足：

H3-1≤p1≤pn≤0；

證明設{xn}是方程(1)的最終正解，且(3)成立.由引理2可知zn滿足引理2中的(i)或(ii).

xn+k=zn+k-pnxn≤α-p1xn≤α-p1M,N2≤n≤N2+k.

從而D=0.

定理3假設下列條件滿足：

H5假設存在q，使0≤q≤qn；

H6{pn}是有界非負實數列.

證明設{xn}是方程(1)的最終正解，且(3)成立.則由H6知zn>0.由H5知Δmzn≤0，所以{Δm-1zn}為非增序列.對于Δm-1zn有以下兩種情形：

(a)Δm-1zn→-∞,n→∞.

(b)Δm-1zn≥0.且Δm-1zn→L,其中L是有限實數.(L>0,L<0,L=0).

若(a)成立，則存在n2≥n0使Δm-1zn2≤0.當n>n2時

Δm-1zn<Δm-1zn2≤0，

(10)

定理4假設下列條件滿足：

H7存在常數p∈[0,1]，使0

再設{xn}是方程(1)的一個最終負解，同樣可知結果成立.

定理5假設下列條件滿足：

H10pn≡0,

(a*)Δm-2xn→+∞,n→∞；

(b*)Δm-2xn→L*,n→∞.其中L*是有限實數.

類似引理2的討論，我們可得到：情形(a*)不真而情形(b*)為真且L*=0.類似上面的過程，可得

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SomeAsymptoticalPropertiesofOddOrderNeutralDifferenceEquationswithMaxima

GAO Yan-hua，ZHONG Xiao-zhu，LIU Na，LI Guo-qin，ZHAO Suo-suo

(SchoolofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The asymptotical properties of all non-oscillatory solutions of a class of odd order neutral difference equations with maxima were studied.Some sufficient conditions for all solutions to be non-oscillatory were obtained.Thus, the existing literature conclusions were improved and extended．

odd order neutral difference equation; non-oscillatory solution; maxima; asymptotical properties

O 175.7

A

1671-6841(2011)03-0027-04

2010-06-17

河北省教育廳科學研究項目，編號Z2007431.

高艷花(1982-)，女，碩士研究生，主要從事差分方程理論研究，E-mail:gaoyanhuagao@163.com．