關于一類特殊的射影平坦的(α, β)度量的構造

許 飛，張改平，張 歡

（裝甲兵工程學院 基礎部，北京 100072）

關于一類特殊的射影平坦的(α, β)度量的構造

許 飛，張改平，張 歡

（裝甲兵工程學院 基礎部，北京 100072）

構造了含五個參數的 F =α+β形式的(α,β) 度量，給出其射影平坦的條件，并計算了此種條件下的旗曲率。

(α, β)度量；射影平坦度量；Finsler度量；旗曲率

射影平坦是Finsler幾何研究中非常重要的一個方面[1]，最早是由一個世紀前Hibert公布的第四問題轉化而來，即找出所有的Finsler度量，使得直線具有最短路徑，具有這種性質的Finsler度量稱為射影平坦的Finsler度量。常旗曲率[2,3]也是Finsler幾何中研究的一個重要方面，它是Riemann幾何中截面曲率的推廣，本文在此理論基礎上構造了一類射影平坦且具有常旗曲率的例子。

1 Finsler幾何

定義1 光滑流形M上的Finsler度量就是TM上的一個函數 F：TM → [0,+∞)，滿足：

（1）正則性

F在TM{0}上光滑；

（2）一階正齊次性

F (x,λy )=λF (x,y)，?λ＞0；

則稱F是流形M上的Finsler度量，賦予Finsler度量F的光滑流形M稱為Finsler流形。

Rn中一個開集U上的Finsler度量F如果在U上的測地線全是直線，即測地線全σ(t)是常向量，則稱度量F是射影平坦的，文獻[4]給出了射影平坦的幾個等價條件。

設F是Rn的開集U上的Finsler度量，則下面的幾個條件是等價的：

（1）F在U上的測地線全是直線；

（2）F測地系數具有以下形式：

其中

（3）F滿足

定義2 設(M,F)為Finsler流形，任給流形上一點x，設該點處的切空間中的旗平面P是由 {y,u} ?TxM 張成，旗曲率K(P,y)定義為

若K為常數，則稱為常旗曲率。

Finsler度量中特殊而重要的一類度量是(α, )β度量，它是由一個Riemannn度量α，一個1-形式β以及光滑流形M上函數φ組成，具體形式是 F=αφ(β/α)，例如

等都是(α,)β度量。

沈忠民[3]構造了一類局部射影平坦，具有零旗曲率的(α, )β度量，形式如下：

可以具體地將其看作為具有 F=(α+ β)2/α形式的(α, β)度量，其中

隨后，楊春紅[5]構造了一個具有三個參數的射影平坦，具有零旗曲率的(α, )β度量，形式如下：

也可以具體地將其看作為具有 F=(α+ β)2/α形式的(α,β)度量，其中

可見，文獻[5]的構造是文獻[3]的構造的推廣。

本文將在此基礎上對(α, β) 度量中的另外一種形式F =α+β，也即通常所講的Randers構造了一個具有五個參數的Finsler度量，并討論其射影平坦的條件和旗曲率。

2 射影平坦的條件

定理1 設 F =α+β為定義在Rn的開子集Ω上，其中α為Riemann度量，β為1-形式：那么 F =α+β為射影平坦的 Finsler度量的充分必要條件是ν=1，a∈v，且 μ2+?ε=0

證明 若 F =α+β射影平坦，即

易證β為射影平坦的Finsler度量。

下面證α射影平坦的條件。令

則

令

將

代入上式并化簡

即

解此方程組得：

其中b, c為任意常數。

由于

則可以解得當

且

時，F為射影平坦的Finsler度量。

反之也可以證明。

3 旗曲率的計算

命題[4]任意一個局部射影平坦的 Finsler度量具有迷向旗曲率，此時旗曲率為

其中射影因子

定理2 設 F =α+β為定義在Rn的開子集Ω上，其中α為Riemann度量，β為1-形式，當且具有如下形式：

則F的旗曲率為

下面計算射影因子。

則

即旗曲率為

[1] X. Mo. An Introduction to Finsler Geometry[M]. Hackensack, NJ： World Scientific Publisher, 2006.

[2] Chen X, Mo X, Shen Z. On the flag curvature of Finsler metrics of scalar curvature[J]. J London Math Soc, 2003, 68(2)： 762-780.

[3] Shen Z. Projectivly flat Finsler metrics of constant flag curvature[J]. Trans of Amer Marh Soc, 2003, 355(4)： 1713-1728.

[4] Shen Z. Lectrues on Finsler Geametry[M]. Singapore：World Scientific Publishers, 2001.

[5] 楊春紅.莫小歡.射影平坦的(α,)β度量的構造[J].內蒙古大學學報(自然科學版),2006,(6).

（責任編輯、校對：趙光峰）

Construction of a Kind of Special Projectively Flat (α, β) Metrics

XU Fei, ZHANG Gai-ping, ZHANG Huan

(Department of Basic Courses, The Academy of Armored Forces Engineering, Beijing 100072, China)

This paper constructs projectively (α,β) metric with 5-parametrers in the form of F =α+β, giving the condition of projectively flat and computing flag curvature.

(α, β) metrics; projectively flat metrics; finsler metrics; flag curvature

2010-10-07

許飛（1981-），男，河北張家口人，碩士，裝甲兵工程學院基礎部助教，研究方向為微分幾何。

O186

A

1009-9115(2011)05-0004-03