初探等比數列求和的幾種方法

徐榮祥

摘要：數列求和是高中數學教學中的難點、重點，屬于思維開發類的題目。在教學過程中，由于其數列安排的繁瑣、復雜，使學生一看容易產生“懵”的感覺，總是覺得無處下手，其實數列之間都有一定的關系，關鍵在于教師要引導學生分析、討論其數列之間的關系形式，進而自主解決問題。新課改一直強調課堂教學中學生的主體性作用，作為教師在教學中可以引導學生分析數列關系，然后引導學生拓展思維，分析、討論數列求和的解題方法。

關鍵詞：等比數列；求和；方法

數列求和作為高中數學教學中的難點和重點，是高考考核的重要部分之一，作為教師應加強關注學生，結合學生的個性特征，構建和諧、平等的教學環境，引導學生分析、總結數列之間的關系，進而讓學生自主探究、解證，凸現課堂教學中學生的主體性作用，鼓勵學生創新，探索多種等比數列求和的方法。

所謂等比數列指的是：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。其中，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。注：q=1時，an為常數列。在此，筆者結合自己多年的教學經驗，談一下如何在等比數列求和教學中，引導學生總結多中解題方法。

一、恒等變形法

所謂恒等變形法指的是：在保持原式結果恒等的情況下，優化、改變原題的表現形式。這樣一來，原式就具有明顯的共同點，便于更好地解決問題。對于此方法的運用，可以首先師生共同分析、總結，改變原式；之后引導學生自主解題；最后，引導學生拓展思維，找出不同的變形式來解題，可以是自主地也可以是小組合作進行，鍛煉和培養學生思維能力的同時提高學生的動手實踐能力，深化學生對數學的認知。如：

解題：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1。

1.師生共同分析、總結變形后的式子為：a1（1+q+q2+……+qn-1）之后，引導學生自主解決可以得出：a1（1+q+q2+……+qn-1）.分解因式等于：1-qn=（1-q）（1+q+q2+……+qn-1）.因此，a1（1+q+q2+……+qn-1）=a1（1-qn）/1-q，最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.

2.拓展學生思維空間，給予學生足夠的自主權，讓學生自主地或者小組合作找出其他的變形式，并解決問題，提高學生的數學素養。高中生已經具備了一定的獨立思考能力，有了一定的思維結構，很快學生就得出了不同的變形式。即：

a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+（a1q++a1q2+…+a1qn-1+a1qn）-a1qn=a1+q（a1+a1q+…a1q2+…+a1qn-1）-a1qn=a1+qsn-a1qn，因此，a1+qsn-a1qn=sn，所以同樣得出：sn=a1（1-qn）/1-q，還可有：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1q+a1q2+……+a1qn-1+a1qn/q=sn-a1+a1qn/q，因此sn=sn-a1+a1qn/q最后也得出：sn=a1（1-qn）/1-q.這樣的方法還多種多樣，其關鍵在于教師的引導，數學本身屬于實踐性、探究性較強的學科，作為數學教師，應抓住一切機會，給予學生自主權，培養學生積極探究的興趣和欲望，從而提高學生的綜合技能。

二、比例性推理法

所謂比例性推理法指的是：根據等比數列的本質特征和性質公式，實施推理，得出結論，能夠有效地鍛煉學生的邏輯思維能力。如：等比數列的概念指出：a2/a1=a3/a2=……=an/an-1=q；通過等比定理可以推出：a2+a3+…+an/a1+a2+…+an-1=q；因此得出：sn-a1/sn-an=q；其中an=a1qn-1，將其帶入化簡式可以得出：sn（1-q）=a1（1-qn），最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.同樣可以引導學生通過分比定理來自主解決問題，即：通過分比定理推出：a2-a1/a1=a3-a2/a2=…=an-an-1/an-1=q-1/1；之后，運用同樣的道理，運用等比推理換化、得出化簡式：-a1+an/sn-an=q-1，進而將an=a1qn-1帶入，得出最后的結果。

三、總結推理法

所謂總結推理法指的是：對原式進行分解，逐一驗證得出結果，根據其分解式的結果進行推理、總結，得出最后結論。等比數列有一定的規律性，那么其分解因式的結果也肯定有一定的規律性，這樣，根據結果的規律性可以直接推導出最終結果。如：首先假設n=3，可以得出：s3=a1+a1q+a1q2=a1（1+q+q2）=a1（1-q3）/1-q；進而，繼續假設，當n=4時，原式為：s4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1（1+q+q2+q3）=a1（1-q4）/1-q；通過這兩組的確切數字分解可以直接得出：sn=a1（1-qn）/1-q.對此，教師還可以打破教材的束縛，拓展學生的思維，讓學生在不斷的探究過程中嘗到成功的喜悅，進而增強自己學習數學的自信心。解決等比數列的問題時，只需引導學生尋找規律，進行推理即可。因此，在教學中，教師要大膽鼓勵學生創新，并對創新的同學進行表揚，激勵學生自主創新的意識。就上述等比數列的例題，教師可讓學生自主探究，當n=k時，結論是什么？當n=k+1時，結論又是什么？詳細分析、總結推導過程，豐富學生的解題方式。

四、結語

總之，等比數列求和的方法是多種多樣的。作為教師，應創設情境，引發學生自主的深入探究，同時還可以舉辦“創新評比大賽”等活動，激勵學生深入探究的積極性和欲望，鼓勵學生大膽拓展思維，升華學生對數學知識的認識，全面提高學生的數學素養。

參考文獻：

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（作者單位 江蘇省高郵市甸垛中學）