群的階與元素的階

張姍姍

摘要：討論群的階、元素的階及兩者之間的關系，給出一些有意義的結果。

關鍵詞：群的階；元素的階；同態；同構；元素

基金項目：寶雞文理學院科研計劃項目（ZK0788）

群是一種特殊的代數系統，它在數學本身以及現代科學技術的很多方面都有廣泛的應用。而群的階和元素的階是群的重要特征之一，本文著重介紹群的階與元素的階的有關概念及相關結果。

一、群的階

定義：一個群叫做有限群,假如這個群的元的個數是一個有限的正整數。不然的話，這個群叫做無限群。一個有限群的元的個數叫做這個群的階，記為G。

結論1. （1）群的階為1?圳G=e。

（2）群的階為2?圳G=e，a且a≠e。

（3）群的階為3?圳G=e，a，a2且a≠e，a≠a2。

結論2. 4階群G必為交換群，而且就同構意義而言，有且僅有兩種類型。

（1）G=〈a〉，a的階是4。

（2）G=e，a，b，c，ea=a，eb=b，ec=c，ab=c，ac=b，bc=a。

結論3. 6階群有且僅有兩種類型。

（1）G是交換群，G=〈a〉，a的階為6。

（2）G是非交換群，G=e，a，a2，c，ca，ca2=〈a，c〉，且a3=c2=（ac）2=e。從而G的乘法表與三次對稱群S3相同。

結論4. 階是素數的群一定是循環群。

定理1. 若群G≠e，G的階是某一素數?圳G除自身與e外沒有其他子群。

結論5. 階是pm的群（p是素數）一定包含一個階是p的子群。

定理2.G和G是兩個有限循環群，他們的階各是m和n，則G∽G?圳n｜m。

定理3.假定H是有限群G的一個子群。那么的H階n和它在G里的指數j都能整除G的階N，并且N=nj。

二、元素的階

定義：設a是群G的元素，若存在使am=e的最小正整數m，則稱a的階為m，記為°（a）=m；若這樣的m不存在，即對于任意正整數n，均有an≠e，則稱的a階為無限。

以下分四種情況討論元素的階：

1.元素階為有限

結論1. （1）群的元素a的階為1?圳a=e。

（2）群的元素a的階為2?圳a=a-1且a≠e。

（3）群的元素a的階為>2?圳a≠a-1。

結論2. 若a是群G的m階元素，則ai=e?圳i=0（modm）；ai=ai?圳i=j（modm）。

結論3. 群的元素a的階為有限

?圳存在i≠j，使ai=aj。

?圳〈a〉為有限集合。

?圳存在正整數n，使an=e。

結論4. 若群G的元素a的階為m，則〈a〉=a0，a1，a2，…，am-1ai，ai+1，…，ai+（m-1）。

定理1. 若a的階是m，則at的階是m?圳（t，m）=1。

推論1. （1）若a的階是m，則at的階是s。

（2）若a的階是st，s>0，則at的階是s。

（3）若群G中有m階元素，則G中至少有Φ（m）個m階元素。

（4）若群G中有m階元素，則對于m的任意正約數s，群G中有s階元素。

推論2. 若群G中有異于單位元的有限階元素，則大于1的最低階數必定是素數。

定理2. 若G與G是群，Gσ~G，a∈G，a的階是m，則σ（a）的階有限且為m的約數.

2.元素的階為無限

結論1. 群的元素a的階為無限

?圳對任意i≠j，均有ai≠aj。

?圳〈a〉為無限集合。

?圳對任意的正整數n，均有an≠e。

結論2. 若a是群的無限階元素，則對于任意的非零整數i，ai也是無限階元素。

結論3. 設G與G是群，Gσ~G，a∈G，a的階是m，則σ（a）的階有限且為m的約數。

3.元素乘積的階

若群G的元素a與b不可交換，則乘積ab的階會出現各種不同的情況，為得出有用的結論，以下討論元素可交換的情形。

結論1. （1）若a，b為有限階元素，ab=ba，則ab為有限階元素。

（2）若群G的元素a的階有限，元素b的階無限，ab=ba，則ab是無限階元素.

定理.若群的元素a的階是s，元素b的階是t，ab=ba，（s，t）=1，則元素ab的階是st。

推論1. 若群G的元素a的階是s，b的階是t，ab=ba，則

（1）元素ab的階是s，t的約數。

（2）群G中存在階是s，t的元素。

推論2. （1）若群G的元素a的階是s，b的階是t，ts，ab=ba，則群G中有階比s大的元素。

（2）若群G是交換群，G中元素的最大階數是n，則G中任一元素的階均為n的約數。

結論2. 若a1，a2，…，ak是群G的可換子集，元素ai的階為mi，i=1，2，…，k，則乘積a1，a2，…ak的階是m1，m2，…，mk的約數。

4.其他情形

結論1. 設G與G是群，GG，a∈G，則a與σ（a）有相同的階。

結論2. 設a是群G的任意元素，則a與a-1有相同的階。

結論3. 設a、b是群G的任意元素，則ab與ba有相同的階。

結論4. 群中相互共軛的元素有相同的階。

三、群的階與元素的階的關系

結論1. 有限群的任一元素的階均為有限。

定理1. 一個有限群G的任一元素a的階都整除G的階。

結論2. 若群G的階為s，G的階大于2的元素的個數為t，G的階等于2的元素的個數為u（t，u可以為0），則

（1）t必須為偶數。

（2）u與s的奇偶性相反，特別地，偶數階的群必有2階元素。

引理：如果群G的階能被素數p整除，則G包含著p階元素。

定理2. 設G是有限群，G的每個元皆為p-元素的充要條件是G的階是p的方冪。

證明：若G的每個元素皆為p-元素，假如G的階n不是p的方冪，即存在整數q，使得q整除n，（p，q）=1，則G有q元子群，但其中任意元素的階數是的p方冪，即G=pm，引出矛盾.所以G的階是p的方冪。反過來，假如G的階是p的方冪，即G=pm，由定理3.1知G中任意元素的階數是p的方冪。

參考文獻：

張禾瑞.近世代數基礎［M］.北京：高等教育出版社，1978.

（作者單位 陜西寶雞文理學院數學系）