在高等代數習題課教學中培養學生能力的探討

李珍珠

（湖南科技學院 人事處，湖南 永州 425100）

在高等代數習題課教學中培養學生能力的探討

李珍珠

（湖南科技學院 人事處，湖南 永州 425100）

本文就在高等代數習題課教學中如何提高學生整體認識能力、分析問題和解決問題的能力、運用高等數學觀點解決初等數學問題的能力以及創新意識和科學研究能力等四個方面進行了探討，并提出了相應的措施。

高等代數；習題課；數學實驗；能力

高等代數是數學與應用數學、信息與計算科學專業的一門非常重要的專業基礎課,它不僅是許多后繼課程的基礎,而且它具有高度的抽象性、整體性和計算的復雜性。正是由于它具有上述特點, 導致學生在學習過程中感覺困難, 覺得概念抽象、證明枯燥難懂，并且習題不會做，這就需要老師幫助學生掌握教學內容中的基本概念、結論、方法和技巧,上習題課就是一種比較好的方法。筆者認為通過習題課教學，可以在以下四個方面提高學生能力。

1適時系統整理知識體系，提高學生對數學知識的整體性認識能力

高等代數是由概念及定理的互相聯系而構成的知識體系，在學習過程中，學生覺得很多概念、定理似曾相識又似是而非，為此，習題課教學時，應對前面出現過的概念與后面類似的概念進行比較，學生對概念的理解只有通過對知識的系統整理過程才能深化。比如學完歐氏空間概念后，就要及時把它與線性空間的概念進行比較，歐氏空間是實數域上的線性空間，并且歐氏空間比線性空間多規定了一種代數運算：內積運算.弄清楚歐氏空間和線性空間的異同后，還有助于幫助學生理解線性空間的同構和歐氏空間的同構這兩個概念.只要將二者進行比較，學生就不難明白教材在定義歐氏空間的同構映射時，映射除了要象線性空間的同構映射一樣保持向量的加法與數量乘法運算以外，還必須保持內積運算，從而對于兩個同構的歐氏空間來說，作為線性空間它們一定同構.又如矩陣的關系有三種：等價、相似和合同，這三種關系分別涉及矩陣、二次型、線性變換、歐氏空間四章。在講線性變換這一節習題時，就可以把矩陣的等價、相似和合同關系聯系起來，通過分析讓學生明白相似或合同的兩個矩陣一定等價，但等價不一定相似或合同，而相似與合同沒有必然聯系；接著在講實對稱矩陣的標準形這一節習題時，抓住矩陣的對角化問題這一主線，就可以將矩陣的相似和合同關系完美地統一起來，從而使這幾章的內容形成一個有機的整體，使學生加深了對概念的理解，還對已學過的概念有了一個更深層次的認識，可以使學生對數學知識形成一個整體性認識。

2適當引入數學實驗思想，提高學生分析問題和解決問題的能力

數學教育家波利亞指出：數學教師的首要責任是盡其一切可能來發展他的學生們的解決問題的能力.因此，在習題課教學中，教師應對主要內容進行凝結、提煉，突出高等代數的理論應用特色，將抽象的理論與生產、生活中的實際問題結合起來，又通過對實際問題的處理和相關理論的尋求處理的方法，培養學生應用理論分析、解決具體問題的能力.因此，在習題課教學中，適當引入數學實驗思想，可以提高學生分析問題和解決問題的能力?！坝捎跀祵W與其它學科之間相互交叉，相互滲透，大量新興的數學方法在科學研究和生產管理各領域中被成功應用，而傳統的數學教學，重視數學公式的推導和數學理論的證明，但是卻嚴重地和數學應用的實際脫離”。[2]因此，在習題課教學中，適當地引入數學實驗的思想，引導學生將實際問題轉化為數學模型，然后利用計算機和數學軟件等工具來進行數學推導、演示和數值計算，通過具體的演算和直觀的圖形變化演示，可以激發學生學習數學和應用數學的興趣。

例如，在歐氏空間中，用施密特正交化方法把一組基化為標準正交基時，這個方法學生往往不能很好地接受和理解，只能死記公式，如果教學中引入數學實驗的思想，讓同學們熟悉數學軟件Matlab，并編寫解決上面這個問題的相應Matlab 程序，利用程序來實驗將歐氏空間中一般基變成標準正交基的方法，再把這個過程放到幾何歐氏空間 R3中去演示，這樣讓學生融入一個有數又有形、有領悟又有創造的學習活動中，學生的學習興趣自然提高了。

3注重高等數學與初等數學的聯系，提高學生運用高等數學觀點解決初等數學問題的能力

《高等代數》課程在學生進入大學的第一個學期開課，學生剛進入大學，正處于由中學到大學的心里和學習上的適應期。學生在學習中學數學時，習慣于形象思維，而大學代數是很注重討論基礎理論的, 這就要求學生盡快從中學數學的形象思維轉向大學數學的抽象思維。因此在習題課教學時, 教師應緊密地引導學生把大學代數與中學代數知識聯系起來, 從而使學生對中學代數學的有關內容有更加深刻的了解，幫助學生樹立學好《高等代數》這門基礎課的信心。因此在習題課教學中就有必要引導學生用大學代數理論居高臨下處理中學數學教材, 發揮高等代數對中學數學教學的指導作用。

首先，要用初等數學的知識作基礎，加強對高等代數的理解。例如，用消元法解線性方程組時，首先將中學學過的線性方程組的同解變換轉換成矩陣的初等變換，由此得到一種用途廣泛的解題方法——矩陣的初等變換法．接著可以引導學生歸納矩陣初等變換的多種用途——利用矩陣的初等變換法可以求解線性方程組，可以求矩陣的秩，可以求矩陣在等價關系和合同關系下的標準形，可以求逆矩陣，可以直接求解部分矩陣方程等．

其次，借助高等代數觀點，深化對中學數學教材的認識。初等數學的習題多如汪洋大海，用高等數學的方法可以使我們居高臨下地去觀察初等問題，用高觀點指導初等數學解題。比如初等數學中有這樣一類不等式的證明：（1）設有兩

表面上看來，這是一系列毫不相關的不等式，但從歐式空間的柯西—布涅柯夫斯基不等式這個觀點去分析，其本質上都是柯西—布涅柯夫斯基不等式的特例。我們就可以從這一高度去統一它們的證明，思路將更為開闊，并能推廣這些不等式以及找到更加廣泛的應用。

4注意挖掘和引入問題，提高學生創新意識和科學研究能力

高等代數不僅是中學代數的繼續和提高,也是現代數學的基礎, 是研究數學其他分支和自然科學的基本工具. 在大學數學素質教育中，高等代數的理論和方法對培養學生的代數計算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力等都有十分重要的作用，同時對培養學生創新意識和科學研究能力有著得天獨厚和不可估量的作用. 為此，習題課教學，應該帶有強烈的研究意識。

數學大師陳省身先生說過：“數學系的學生，應在習題課上一起討論一些有意思，又有一定難度的問題 ?！币虼?，《高等代數》習題課，除了講解一些普遍性的問題，更應通過挖掘、歸納、理解提出一些有較好學術價值的問題供學生討論。

其次，還可以把一些討論的數學熱點問題引入課堂。例如，在“Eisenstein判別法的推廣與應用”、“多項式的最大公因式的矩陣求法”和“正定矩陣的性質及其應用”等問題上還可以再推廣、再引申，還有許多問題值得進一步探究。再比如，屠伯塤1999年在《數學學報》發表“亞正定陣理論”以來，引起了數學界的廣泛關注，后來許多學者發表了一系列有趣的推廣文章。以這些為事例，可以在習題課上引導學生，根據所學的有關知識，讓學生明白如何查找文獻，如何找研究課題，如何開展研究，有利于培養學生的研究意識，激發學生的研究興趣，提高學生的科學研究能力。

[1]北京大學數學系.高等代數[M].北京:高等教育出版社，2003.

[2]張波,周山,鄧志云.數學實驗課的研究與認識[J].井岡山學院學報(自然科學版),2006,27(8):13-15.

[3]劉雪梅.淺談“高等代數”習題課教學[J].高等數學研究，2008,11(4):99-100.

O13

A

1673-2219（2011）12-0001-02

2011－10－20

湖南省普通高校精品課程建設項目；湖南科技學院優秀教學團隊建設項目。

李珍珠（1966－），女，湖南祁陽人，研究方向為數值代數。

（責任編校：何俊華）