基于四面體的不規(guī)則表面文物體積計(jì)算

張小青，朱 光，2，侯妙樂，黃 鶴，2

(1.北京建筑工程學(xué)院測繪與城市空間信息學(xué)院，北京100044;2.現(xiàn)代城市測繪國家測繪地理信息局國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

基于四面體的不規(guī)則表面文物體積計(jì)算

張小青1，朱 光1，2，侯妙樂1，黃 鶴1，2

(1.北京建筑工程學(xué)院測繪與城市空間信息學(xué)院，北京100044;2.現(xiàn)代城市測繪國家測繪地理信息局國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

鑒于不規(guī)則表面的文物很難直接進(jìn)行體積測量，提出一種從三角格網(wǎng)模型計(jì)算不規(guī)則表面文物體積的方法。該方法利用高精度三維激光掃描儀對復(fù)雜表面文物進(jìn)行掃描獲取三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，并通過對三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)的處理和拓?fù)渲亟ǖ玫轿奈锏娜歉窬W(wǎng)模型，引入四面體的有向體積法，通過求四面體有向體積來計(jì)算文物三維模型的體積。同時(shí)，分析此類算法的誤差，并在VC# 2008環(huán)境下利用OpenGL對該三維模型進(jìn)行顯示。

四面體;三維模型;三角格網(wǎng);體積計(jì)算

一、引 言

隨著自然的侵蝕和人類活動(dòng)的影響，前人留下的珍貴而豐富的文化遺產(chǎn)正在逐漸被損毀、破壞和消失。如何利用先進(jìn)的技術(shù)手段來保護(hù)、修復(fù)這些寶貴文物，成為迫在眉睫的問題［1］。在文物修復(fù)中經(jīng)常需要估算修復(fù)材料的用量，然而一些文物結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，表面呈不規(guī)則形狀，傳統(tǒng)測量方法無法直接求得精確體積以估算材料用量。因此，通常采用把體積參數(shù)轉(zhuǎn)換成質(zhì)量和密度的關(guān)系而進(jìn)行間接測量。但間接測量方式易受條件、經(jīng)驗(yàn)的約束，且測量速度慢、精度低、自動(dòng)化程度不高［2］。而近年來不斷發(fā)展和成熟的三維建模技術(shù)，卻給文物保護(hù)工作開創(chuàng)了一個(gè)全新的局面。通過三維掃描手段，可將文物的幾何、紋理等信息進(jìn)行數(shù)字化，尤其是對不規(guī)則表面文物的保護(hù)、修復(fù)提供了測量保障。

二、研究現(xiàn)狀

采用三維激光掃描儀的非接觸掃描，可直接獲得表征物體表面形狀的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，進(jìn)而測量不規(guī)則表面體的體積。針對基于不規(guī)則表面體三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)的體積計(jì)算方法，周會(huì)成等提出一種從三維點(diǎn)云計(jì)算活塞腔體積的方法［3］。該方法通過對三維點(diǎn)云的處理，分割出參考平面，重構(gòu)其曲面幾何模型，用數(shù)值積分的方法計(jì)算活塞腔的體積，但這種方法要求物體表面較規(guī)則。劉玉身提出擬蒙特卡羅(Quasi-Monte Carlo)方法計(jì)算點(diǎn)模型的體積［4］。該算法雖然克服了重建模型需要消耗大量時(shí)間和空間的不足，但判斷點(diǎn)云邊界時(shí)的程序繁瑣，不宜處理大規(guī)模的數(shù)據(jù)處理。針對點(diǎn)云生成三角網(wǎng)格模型的體積計(jì)算，王泉德提出了一種根據(jù)三角網(wǎng)格模型的三角面片集合計(jì)算模型體積的方法［5］。該方法通過指定投影平面，計(jì)算每個(gè)三角面片及其在投影平面上的投影所圍成的凸五面體的帶符號體積，整個(gè)模型的體積為所有凸五面體帶符號體積的代數(shù)和，但該方法需要判斷三角形拓?fù)潢P(guān)系。戴文俊等提出計(jì)算三維實(shí)體模型體積的適應(yīng)性方法［6］。該方法首先用一組等距的平行平面對網(wǎng)格模型進(jìn)行分層剖分，并利用平面簡單多邊形的帶符號面積公式求取相應(yīng)截面的面積，然后根據(jù)相鄰平面間的距離估算模型體積。這種算法可得到任意實(shí)體模型近似值和精確值計(jì)算方法，但算法中剖分模型的計(jì)算花費(fèi)較大。

本文利用三維激光掃描儀對具有復(fù)雜表面的文物進(jìn)行掃描獲取其表面幾何信息，將獲取的表面點(diǎn)云數(shù)據(jù)通過拓?fù)渲亟ǖ玫轿奈锏娜蔷W(wǎng)格模型。針對文物的三角網(wǎng)格模型，提出一種四面體有向體積法來計(jì)算三角網(wǎng)格模型體積法，并對算法進(jìn)行了改進(jìn)。該算法首先對模型進(jìn)行仿射變換將模型平移，然后計(jì)算三角網(wǎng)格中所有三角形與零向量點(diǎn)所構(gòu)成的四面體的體積，所有的四面體帶符號體積的代數(shù)和即為整個(gè)模型的體積。

三、基于四面體的網(wǎng)格模型體積計(jì)算法

四面體是三維空間最簡單的不規(guī)則體單元，是進(jìn)行三維幾何拓?fù)潢P(guān)系描述的最基本元素之一。利用計(jì)算四面體有向體積來計(jì)算三角網(wǎng)格模型體積的實(shí)質(zhì)是利用三維激光掃描儀對文物進(jìn)行掃描獲取其表面幾何信息點(diǎn)云，然后經(jīng)過對點(diǎn)云數(shù)據(jù)預(yù)處理并通過拓?fù)渲亟ǖ玫轿奈锏娜蔷W(wǎng)格模型，從而計(jì)算出表面復(fù)雜的文物的體積。其計(jì)算流程包括對文物三維空間數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)預(yù)處理、文物三維模型構(gòu)建等數(shù)據(jù)準(zhǔn)備部分和基于四面體的模型體積計(jì)算部分。

1.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

為獲取文物表面高精度三維空間點(diǎn)云數(shù)據(jù)，本文利用了便攜式關(guān)節(jié)臂測量系統(tǒng)(CIMCORE Infinite 2.0)，其三維空間坐標(biāo)測量精度為±0.045 mm。由于掃描實(shí)體模型的過程中難免會(huì)受到環(huán)境和載物裝置等干擾而出現(xiàn)雜點(diǎn)與噪點(diǎn)，因此需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除處理，并且要通過精簡數(shù)據(jù)來減少信息處理量，對多視圖掃描文件進(jìn)行拼合處理。通過掃描獲得的點(diǎn)云模型實(shí)質(zhì)上是無數(shù)個(gè)具有三維坐標(biāo)的離散點(diǎn)形成的表面形態(tài)，各個(gè)點(diǎn)之間不存在拓?fù)潢P(guān)系，并沒有構(gòu)成文物的實(shí)際表面。本文利用三角格網(wǎng)模型方法來構(gòu)建三維形體，并以一種標(biāo)準(zhǔn)三維模型文件OBJ格式存儲(chǔ)。

對于任一給定的網(wǎng)格模型，只有在它的網(wǎng)格面片圍成有限封閉空間的情況下，求其體積才有意義。因此，在計(jì)算體積之前應(yīng)確保模型的每個(gè)面片均為三角形，并且三角形的法向量與三角形的3個(gè)頂點(diǎn)編號順序?yàn)橛沂忠?guī)則，即所有三角形面片的法向一致，均指向體外。本文討論的網(wǎng)格模型也屬于此類模型，且滿足以下條件:① 網(wǎng)格上的每個(gè)面片都是平面凸多邊形;②網(wǎng)格上的每條邊由且只由兩個(gè)面片共有，并且共用網(wǎng)格上任一頂點(diǎn)的各面片在該頂點(diǎn)處形成的曲面與單位圓拓?fù)渫瑯?gòu)。

2.基于四面體的模型體積計(jì)算

對于構(gòu)建完成的文物三角格網(wǎng)模型，采用的基于網(wǎng)格模型體積計(jì)算方法如下。

設(shè)網(wǎng)格模型中的任意一個(gè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)為A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，如圖1所示，則以△ABC為底(按逆時(shí)針順序排列)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0，0)為頂點(diǎn)的四面體體積為［7］

設(shè)OA方向的單位向量N，△ABC所在平面一側(cè)的單位法向量為NABC，△ABC按逆時(shí)針排列時(shí)與N成右手系，則當(dāng)內(nèi)積(N，NABC)＞0，四面體體積VOABC為正數(shù)，否則為負(fù)數(shù)。

圖1 四面體體積計(jì)算

如圖2所示，設(shè)三角格網(wǎng)模型表面由n個(gè)分片三角形所組成，外側(cè)面第i個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為Ai1(xi1，yi1，zi1)，Bi2(xi2，yi2，zi2)，Ci3(xi3，yi3，zi3)，3個(gè)頂點(diǎn)的順序按曲面外側(cè)逆時(shí)針方向排列，則三維模型總體積計(jì)算公式為

式中，Vi為第i個(gè)三角形與坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成的帶符號體積，其正負(fù)符號同樣根據(jù)原點(diǎn)O和三角形中一頂點(diǎn)構(gòu)成的向量與三角形的法向量的內(nèi)積的正負(fù)號確定。

圖2 三維模型體積計(jì)算

由于本文計(jì)算的三維模型表面極其復(fù)雜且不規(guī)則，為了提高體積計(jì)算精度，專門對其算法進(jìn)行了改進(jìn)。首先在體積計(jì)算之前對模型數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將原始三角網(wǎng)模型進(jìn)行仿射變換，使模型中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)。然后搜索三角網(wǎng)模型頂點(diǎn)坐標(biāo)在3個(gè)坐標(biāo)軸方向上的最大值、最小值，分別記為(xmin，xmax)，(ymin，ymax)，(zmin，zmax)，再以點(diǎn)(xmin，ymin，zmin)和點(diǎn)(xmax，ymax，zmax)為對角頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)包圍邊界包圍整個(gè)模型，最后求出模型中心，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行體積計(jì)算(如圖3所示)。

圖3 四面體模型體積計(jì)算算法及改進(jìn)算法

四、試驗(yàn)結(jié)果與誤差分析

本文以重慶大足石刻千手觀音為例(如圖4所示)。該千手觀音修復(fù)中需要貼金箔，而其造型相當(dāng)復(fù)雜，其中準(zhǔn)確計(jì)算需要修復(fù)金箔數(shù)量是千手觀音修復(fù)的關(guān)鍵。本文截取了千手觀音的一只手作為試驗(yàn)樣品(如圖4(a)所示)，構(gòu)建了其三角格網(wǎng)模型(如圖4(c)所示)，并基于上述算法及改進(jìn)算法進(jìn)行了計(jì)算。計(jì)算算法是在VC#2008環(huán)境，調(diào)用OpenGL函數(shù)庫編程實(shí)現(xiàn)。圖5表示針對千手觀音單只手計(jì)算出的體積，四面體模型體積算法結(jié)果為5 681.594 cm3(M1);四面體模型體積計(jì)算的改進(jìn)算法結(jié)果為5 683.660 cm3(M2)。將兩種算法得到的結(jié)果和該只手的體積理論值比較，改進(jìn)算法能提高0.4%的精度。

圖4 千手觀音部分?jǐn)?shù)據(jù)體積計(jì)算實(shí)例

圖5 四面體模型體積算法及改進(jìn)算法的計(jì)算結(jié)果

通過對此試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算的整個(gè)過程可見，影響模型體積計(jì)算精度的因素主要有兩個(gè)方面:①三維點(diǎn)云獲取過程。在三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)的獲取過程中，掃描儀掃描的點(diǎn)云的密度大小直接影響其精度的離散性，而掃描儀本身的誤差與環(huán)境因素，也影響實(shí)際獲得點(diǎn)云數(shù)據(jù)的精度，因此數(shù)據(jù)準(zhǔn)備過程中的預(yù)處理非常必要。②數(shù)據(jù)建模誤差，其體積計(jì)算精度與三角格網(wǎng)模型構(gòu)建數(shù)量、精度有關(guān)。

五、結(jié)束語

本文提出基于三維激光掃描儀獲得復(fù)雜表面文物三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，并通過三角格網(wǎng)模型的四面體體積計(jì)算算法及改進(jìn)算法計(jì)算其體積的方法。此方法可有效提高復(fù)雜表面目標(biāo)物的體積計(jì)算精度，并可利用OpenGL實(shí)現(xiàn)簡易、高效的模型可視化，可廣泛利用于復(fù)雜表面文物的體積、面積等計(jì)算。

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Volume Calculation of Surface Irregular Cultural Relic Based on Tetrahedron

ZHANG Xiaoqing，ZHU Guang，HOU Miaole，HUANG He

0494-0911(2011)10-0050-03

P258

B

2011-05-05

張小青(1980—)，女，江西撫州人，碩士生，主要研究方向?yàn)榫芄こ虦y量。