一四元數(shù)矩陣方程的最小二乘解

吳文靜 孫梅蘭 徐立祥

（合肥學(xué)院數(shù)理系，安徽 合肥 230601）

一四元數(shù)矩陣方程的最小二乘解

吳文靜 孫梅蘭 徐立祥

（合肥學(xué)院數(shù)理系，安徽 合肥 230601）

利用四元數(shù)體上自共軛矩陣的奇異值分解，得到了實(shí)四元數(shù)矩陣方程X+AXB=C的最小二乘解的表達(dá)式，同時(shí)給出了在相應(yīng)解集中矩陣方程的極小范數(shù)解.

四元數(shù)體；矩陣方程；最小二乘解

1 引言

本文用Q表示四元數(shù)體，Qm×n表示Q上m×n階矩陣全體，A*表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置，U表示n×n階四元數(shù)酉矩陣，UQn×n表示四元數(shù)酉矩陣集合，SCn（Q）表示四元數(shù)體Q上全體n×n自共軛矩陣集合。

本文討論問題如下：

問題 1.給定 A，B∈SCn（Q），C∈Qn×n在 A，B 可交換的條件下，求 X∈Qn×n，使得‖X+AXB-C‖=min （1）

問題2.設(shè)問題1的解集為SQ，求X0∈SQ,使得‖X0‖=min.

2 引理及主要結(jié)論

引理1[2]‖·‖是酉不變的四元數(shù)矩陣范數(shù)。

引理 2[3]設(shè) A∈Qm×n，且 rank（A）=r，則存在 U∈UQm×n，V∈UQm×n，使得

其中 Λ=diag（a1，a2，…，ar），a1，a2，…，ar為 A 的所有特征值。

（2）式稱為四元數(shù)矩陣A的奇異值分解。

引理3[4]設(shè)A，B∈SCn（Q），則A，B能用一個(gè)四元數(shù)酉矩陣U同時(shí)化為實(shí)對(duì)角矩陣UAU*與UBU*的充分必要條件為AB=BA.

由上述引理可得

定理 設(shè) A，B∈SCn（Q），A，B 為可交換矩陣，則存在 U∈UQm×n使得 X=U*X^U 為（1）的最小二乘解，

這里 ai，bi（i=1，2，…，n）分別是A，B的全部特征值，（cij）=UCU*.

證明：因?yàn)锳，B為可交換矩陣，由引理3可知，存在U∈UQm×n使得UCU*＝diag（a1，a2，…，an）=ΛA，UCU*＝diag（b1，b2，…，bn）=ΛB

其中ai，bi（i=1，2，L，n）分別為 A，B 的全部特征值，于是

當(dāng) aibj＝－1 時(shí)， xij可取任意的四元數(shù)，此時(shí)│（1+aibj）xij-cij│2＝│cij│2，于是X=U*X^U為（1）的最小二乘解，其中

進(jìn)一步，X0=U*X^0U為（1）的極小范數(shù)最小二乘解，其中

[1]胡端平.矩陣方程 與線性流行上的矩陣最佳逼近[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1999,19(4):467-471.

[2]Liu Yonghui.The Least-square Solutions to the Quarternion Matrix Equation.[J].數(shù)學(xué)研究,2003,36(2):145-150.

[3]劉永輝，姜同松，魏木生.四元數(shù)矩陣的奇異值分解及其應(yīng)用[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,12(4):321-328.

[4]莊瓦金.體上矩陣?yán)碚搶?dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

THE LEAST SQUARE SOLUTIONS TO A SYSTEM OF QUATERNION MATRIX EQUATION

WU Wen-jing SUN Mei-lan XU Li-xiang
（Department of Mathematics and Physics,Hefei University,Hefei Anhui 230601）

By applying the singular value decomposition of self-conjugate matrices in the quaternion field,the least square solutions to is presented.In addition,the expression of minimum norm solution in the corresponding solution set to the given matrix is also derived.

quaternion field;matrix equation;least square solution

O151.2

A

1672－2868（2011）06－0018－02

2011－10－20

合肥學(xué)院科研項(xiàng)目（10KY01ZR；10KY02ZR）；省教育廳自然科學(xué)一般項(xiàng)目（KJ2010B182）

吳文靜（1980-），女，安徽霍邱人。碩士，助教，研究方向：矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用

責(zé)任編輯：陳 侃