地應力測量中鉆孔偏心分析*

程惠紅 張 懷 朱伯靖 石耀霖

(1)中國科學院計算地球動力學重點實驗室，北京 100049 2)中國科學院研究生院地球科學學院，北京100049)

地應力測量中鉆孔偏心分析*

程惠紅1，2)張 懷1，2)朱伯靖1，2)石耀霖1，2)

(1)中國科學院計算地球動力學重點實驗室，北京 100049 2)中國科學院研究生院地球科學學院，北京100049)

將有限元數值法與解析解相結合，對載荷下探頭鉆孔偏心問題進行研究。研究結果表明，偏移量δ≤1/5時，徑向位移誤差均值＜15%，周向位移誤差均值＜10%;偏移量δ≥2/5時，徑向位移誤差均值＞30%，周向位移＞25%;而當δ＞1/2時，誤差值更大，具體的數值在實際工程中需進一步驗證。

地應力;鉆孔偏心;徑向位移;周向位移;誤差分析

1 引言

20世紀80年代以來，地應力測量在全世界范圍廣泛展開，然而，在實際地應力測試中會受多種因素的干擾，影響測量結果的真實性。經過多年研究，石耀霖等［1］提出鉆孔內布4個相繼成45°的應力元件的檢測方法，即“1+3”=“2+4”的實地檢驗方法［2］，但在實際應力長期觀測常常做不到。因為鉆孔應變測量是一個由套筒內外徑、圍巖和水泥3部分組成各向異性的“雙環”問題，鉆孔偏心會引起誤差，但誤差有多大還需要研究。

Jeffery［3］推導出了存在偏心孔的圓柱體在內壓和外壓下的應力公式。此后，Radi和Strozzi［4］采用雙極坐標和艾雷應力函數方法求出了二維各向同性偏心孔應力分布問題的基本解析解。但是，雙極坐標系統下的解析解方程式較復雜，實際應用起來也比較困難。由于數學和力學理論上的困難，對于直角坐標系統下橫觀各向同性和各向異性材料偏心孔應力分布的解析解很難得到。隨著計算機技術的快速發展，數值模擬方法應用愈來愈廣泛，尤其是有限元方法，該方法可以方便地調整參數，修改邊界條件和加載方式，適合具有不規則形狀和內部結構復雜的問題，模擬方案靈活可變，是目前研究復雜地質體中應力場分布最有效的方法之一［5］。

本文將應用數值模擬及理論分析方法，研究不同材料和孔深情形下的孔壁徑向與周向位移誤差大小與鉆孔偏心度之間的關系。

2 地應力測量基本理論

根據彈性力學理論［5-8］，半徑為a的圓孔在無窮遠處薄板受x方向的均勻壓拉力p，在圓孔孔壁處的徑向位移ur和周向位移uθ為：

其中θ為從壓力P的方向轉到孔壁上任一點對應的角度，逆時針轉動時，θ為正，順時針為負。

在無窮遠處X方向受到最大主應力σ1，其垂直方向受到最小主應力σ2時。孔壁的徑向變形為：

其周向變形可以表示為：

在實際應用中，如果在3個相繼成45°方向上分別測定ur，則可得：

通過解方程組計算出σ1、σ2以及主應力與元件的夾角：

此時

在數值模擬計算中，雖然板的尺度是有限的，但當圓孔直徑的比值與彈性板的邊長小于1/4時，有限板和無限版幾乎沒有差別［9］。試算中我們也發現當小孔的孔徑a一定時，隨著板的尺度L的增大，數值模擬結果越來越逼近解析解。如果選取a/L= 1/10，則可以十分精確地模擬無限大平板內含小孔的問題。由于有限元數值模擬和理論解的誤差會隨著網格增加逐漸減小，當單元數目達到兩萬以上時，隨著單元數目的增加數值模擬精度提高很少，因此本文對單元的劃分采取逐步加密的辦法。

3 地應力測量中“偏心”孔的模擬

本文選取YRY-4型分量鉆孔應變儀的參數進行模擬。其探頭主體長度450 mm，直徑108 mm，彈性筒的外徑與內徑之比為1.09，4路電容測微傳感器米字型布置在探頭中部平面。選取Φ130 mm的直徑巖石鉆孔，a/L=1/10。約束條件為：單向受壓，x方向上施加均勻壓應力σ=1.0×106Pa，x軸上點施加沿y方向的約束條件，約束值為0;y軸上點施加沿x方向的約束條件，約束值為0。介質力學參數見表1。

表1 介質力學參數Tab.1 Material parameter

圖1和圖2為3層不同介質的內孔在X方向偏心時σxy的應力圖和σxy切應力圖，由圖可以看出：1)對于中間較軟，兩側硬的3層介質材料，在受X向單向壓力時，中間介質在θ=±π/2內部兩介質接觸處壓應力最大，而在外部兩介質接觸處拉應力最大;2)內孔偏心后，小孔周圍的主應力不再關于y軸對稱，在內孔偏向的那側，主應力隨偏心距的增大不斷增大;切應力對于無限空間來說是對稱的，但對于偏心孔不再對稱，對稱軸背向內孔的偏向，且切應力隨著偏心距的增大也在增大(圖3、4)。從圖3、4可以看出：1)對于3層介質，孔壁徑向位移最值之比不再是1：3，徑向位移和周向位移隨介質參數而變化;2)隨著偏心距的增大，引起的位移誤差也增大。在θ=π/2處，當偏心距δ=3 mm時，位移誤差為0.44%;δ=6 mm時，位移誤差為1.83%;δ=10 mm時，位移誤差為5.56%。

4 討論

我國分量式鉆孔應變儀的內環是儀器套筒，外環是水泥的“雙環模型”，可歸類為彈性力學的圓孔加襯問題，因此，公式(1)、(2)可以表達為：

其中A、B是套筒內外徑、圍巖和水泥等關于楊氏模量和泊松比的函數［10］。

圖5為鉆孔偏心示意圖，內孔偏心后，應變儀測量到θ方向上的A點，相當于鉆孔未偏心的β方向上的A’點。則鉆孔在X方向偏移度m=c/a，Y方向上n=d/a，且鉆孔偏心不影響L范圍的P值，可以得出孔壁徑向、周向位移公式為：

其中：

鉆孔偏心后的偏差為：

圖1 3層不同介質的內孔在X、Y方向上偏心形成的應力圖Fig.1 Normal stress with the variation of eccentric distances in the X and Y direction in three different materials

圖2 3層不同介質的內孔在X、Y方向上偏心形成的切應力圖Fig.2 Shear stress with the variation of eccentric distances in the X and Y direction in three different layers of materials

圖3 內孔在X方向不同偏心距下的徑向位移Fig.3 Radial displacement with the variation of eccentric distances in the X direction in three different materials

圖4 內孔在X方向不同偏心距下的徑向位移Fig.4 Tangential displacement with the variation of eccentric distances in the X direction in three different layers of materials

圖5 鉆孔偏心示意圖Fig.5 Sketch of eccentric hole in infinite plate

對式(17、18)的θ求導，可以得到變化最值點。對于無窮大薄板在受X和Y方向上受力情況，其孔壁位移偏差公式可以根據單力情況，應用疊加方法得到。在實際工程測量中，當知道鉆孔偏心距c、d后，就可求出偏差，進而對測量結果進行修正。同時，當實際測量中在某個角度θ測得的位移、應變值出現差異時，可以判斷該孔偏向，從而進行校正。

公式推導中假設條件與數值間的誤差通過系數M來估測，將經驗公式解與數值解進行對比擬合分析，從而得出M值(表2)。

應用有限元數值模擬，將鉆孔偏心數值解與經驗公式解進行擬合。根據曲線擬合確定M’=1.0 -c/5a。若鉆孔在X、Y方向偏移c、d，則系數m= 1.0-δ/5a，δ=(c2+d2)1/2為鉆孔偏心距。因此，經修訂公式(17、18)位移偏差可以表示為：

表2 鉆孔偏心數值解與經驗公式擬合Tab.2 Numerical Solution of eccentric and fitting with the ampirical formula

4.1 誤差隨偏移方向變化

在測量過程中鉆孔定位不準、導向器的損壞、套管內壁的磨損等不定因素，致使鉆孔偏向不同，也導致孔壁位移變化量的大小不同。根據式(19、20)可以得出鉆孔在分別偏向4個方位圓孔孔壁位移變化情況。本文選取aP/AE=aP/BE=1，鉆孔在X、Y方向均偏移1/10孔徑的條件下徑向、周向位移變化見圖6。鉆孔偏向北東方向時，徑向位移在θ=0、±π處(壓力平行處的點附近)以及［-π/2，0］、［π/2，π］區間(與偏移方向垂直)在鉆孔偏心前后變化較大，而在［0，π/2］［-π，-π/2］區間(與偏移方向平行)在鉆孔偏移前后變化很小。同樣，可以看出在其他方向也遵循這個規律：壓力平行處的點附近和與偏移方向垂直區間的徑向位移變化較大，與偏移方向平行的區間徑向位移變化較小。周向位移在0、π(壓力平行處的點)以及與偏移方向平行處變化大，而在垂直方向變化小。同樣，可以得出周向位移在偏向4個方位各個區間的變化(表3)。

表3 偏心孔偏向不同象限的各個區間的徑向位移和周向位移變化Tab.3 Variation of radial displacement and tangential displacement in all four quadrants

4.2 誤差隨偏心距變化

根據式(19、20)，可以得出不同鉆孔偏心距下鉆孔未偏心與偏心后徑向位移的誤差范圍及影響因素。選取鉆孔圓心偏向東北方向，得出不同偏心距［1/10，5/10］的誤差。隨著偏心距離δ的增大，小孔孔壁應變和位移顯著改變。偏移量δ≤1/5時，徑向位移誤差均值＜15%，周向位移誤差均值＜10%;偏移量δ≥2/5時，徑向位移誤差均值＞30%，周向位移＞25%;而當δ＞1/2時，誤差值更大(表4)。

表4 不同偏心距δ下的位移誤差分析Tab.4 Analysis of displacement error under different eccentricity distance δ

4.3 一般情形

在實際地應力測量中設地表孔口圓心為坐標系的原點，x軸為南北方向，y軸為東西方向，z軸定為垂直向下。對于直線型鉆孔來說，鉆孔的軌跡則由鉆孔的孔口坐標，開孔頂角和方位角三者決定。設直線型鉆孔設計軸線為z軸，頂角偏移孔軸線角度為φ，鉆孔方位角為ω，則偏心孔在深度h處，x方向上的偏移量為h tanφ cosω，y方向上的偏移量為h tanφ sinω。據實測地應力統計資料分析結果最大水平主應力與垂直應力的比值一般為ζ=0.5～5.5，在淺層地殼中ζ=0.8～1.5［11］。因此可以將公式(19、20)，變化為：

其中：

地應力在絕大部分地區是一個3項不等壓力場，其孔壁位移偏差公式可以根據單力情況，應用疊加方法得到。

圖6 圓孔孔壁徑向位移和周向位移示意圖Fig.6 Sketch of radial displacement and tangential displacement small of a hole in infinite plate

5 結論

本文在前人工作基礎上［12］，應用有限元數值方法與解析(半)解析理論解對地應力測量中的鉆孔偏心問題進行了探討，得到的孔壁徑向與周向位移誤差大小與鉆孔深度、鉆孔直徑、鉆孔偏心度、材料參數、載荷分布和類型之間的關系，可為進一步研究提供一些參考。

1 石耀霖，范桃園.地應力觀測井中元件標定及應力場計算方法［J］.地震，2000，20(2)：101-106.(Shi Yaolin and Fan Taoyuan.Borehole in situ calibration of stress sensors and calculation of variation of stress field during long term observation［J］.Earthquake，2000，20(2)：101-106)

2 邱澤華，石耀霖，歐陽祖熙.四分量鉆孔應變觀測的實地相對標定［J］.大地測量與地球動力學，2005，(1)：118-122.(Qiu Zehua，Shi Yaolin and Ouyang Zuxi.Relative in-situ calibration of 4-component borehole strain observation［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2005，(1)：118-122)

3 Jeffery G B.Plane stress and plane strain in bipolar co-ordinates［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society of London(Series A)，1921，221：265-293.

4 Radi E and Strozzi Jeffery A.Solution for an elastic disk containing a sliding eccentric circular inclusion assembled by interference fit［J］.International Journal of Solids and Structures，2009.46(25/26)：4 515-4 526.

5 李開泰，黃艾香，黃慶懷.有限元方法及其應用［M］.北京：科學出版社，2006.(Li Kaitai，Huang Aixiang and Huang Qinghuai.The finite element method and its application［M］.Beijing：Science Press，2006)

6 徐秉業，劉信聲.應用彈塑性力學［M］.北京：清華大學出版社，1995.(Xu Bingye and Liu Xinsheng.Application of elastic-plastic mechanics［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1995)

7 中國地質科學院地質力學研究所，國家地震局地震地質大隊.地應力測量的原理和應用——測量地應力的鉆孔變形法［M］.北京：地質出版社，1981.(Chinese Academy of Geological Sciences Institute of geology and State Seismological Bureau Brigade.In-situ stress measurement principle and application of in-situ stress-Measurement of borehole deformation method［M］.Beijing：Geological Publishing，1981)

8 王連捷，潘立宙.地應力測量及其在工程中的應用［M］.北京：地質出版社，1991.(Wang Liangjie and Pan Lizhou.In situ stress measurement and its application in engineering［M］.Beijing：Geological Publishing，1991)

9 黃維揚.有限大平板中圓孔的應力集中計算［J］.南京航空航天大學學報，1986：73-80.(Huang Weiyang.A calculation of the stress concentration for a finite plate with a circular hole［J］.Journal of Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，，1986：73-80)

10 邱澤華，闞寶祥，唐磊.四分量鉆孔應變觀測資料的換算和使用［J］.地震，2009：83-89.(Qiu Zehua，Kan Baoxiang and Tang Lei.Conversion and application of 4-component borehole strainmeter data［J］.Earthquake，2009：83-89)

11 徐志英.巖石力學［M］.北京：中國水利水電出版社，1993.(Xu Zhiying.Rock mechanics［M］.Beijing：China Water Power Press，1993)

12 張懷，等.擬川滇——基于千萬網格并行有限元計算的區域強震演化過程數值模型設計和構建［J］.中國科學(D)，2009.39(3)：260-270.(Zhang Huai.Quasi Sichuan-Yunnan——Based on thousands of grid parallel finite elementcomputationsstrong earthquake evolution process numerical model design and construction［J］.Science Chian(D)，2009.39(3)：260-270)

ANALYSIS OF DRILLING HOLE DEVIATION IN CRUSTAL STRESS MEASUREMENT

Cheng Huihong1，2)，Zhang Huai1，2)，Zhu Bojing1，2)and Shi Yaolin1，2)

(1)Key Laboratory of Computational Geodynamics，Chinese Academy of Science，Beijing 100049 2)College of Earth Science，Gradute University of Chinese Academy of Sciences，Beijing100049)

The drilling-hole deviation problem is explored through theoretical and numerical analysis.First，the finite element modeling to different deviation(zero to half of hole radium)established and relatively dispalcement fields are obtained.Then，the correlation of deviation value and mean diaplacement error(MDE)is developed.When the deviation is located at 0.2 level，the MDE components at radical and circumferential direction is less than 15% and 10%respectively，when it is located at 0.4 level，the relatively error will exceed to 30%and 25%，if it is exceed to 0.5 level，the present law is invalidated and had to be improved.

crustal stress;eccentric derivation;radial displacement;tangential displacements;error analysis

1671-5942(2011)06-0164-06

2011-07-11

國土資源部行業基金(SinoProbe-7)

程惠紅，女，1984年生，博士生，主要從事地球動力學專業.E-mail：chenghuihong@163.com

P315.72+5

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