可壓縮湍流邊界層近壁區(qū)馬蹄渦的演化

史萬里，葛 寧，陳 林，唐登斌

(1.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇南京 210016;2.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，江蘇南京 210016)

0 引言

在流體力學(xué)的研究領(lǐng)域中，湍流邊界層問題是一個(gè)至今尚未解決的重大難題，而擬序結(jié)構(gòu)問題則對(duì)于湍流邊界層的進(jìn)一步深入研究和探索至關(guān)重要［1］，尤其在湍流邊界層近壁區(qū)域，流動(dòng)的許多宏觀特性，如湍流的生成和維持、湍流能量的輸運(yùn)和耗散、阻力減小、熱量傳遞等都與之密切相關(guān)［2］。大量實(shí)驗(yàn)研究與數(shù)值模擬結(jié)果表明，流向渦結(jié)構(gòu)是擬序結(jié)構(gòu)的一種重要典型特征［3］，馬蹄渦(或發(fā)卡渦)更受到了廣泛的重視［4－5］，其生成與演化規(guī)律的研究，能夠?yàn)橥牧鬟吔鐚觾?nèi)的流動(dòng)現(xiàn)象提供很多合理的解釋，并有助于深入理解和解決工程中遇到的流動(dòng)問題。

在湍流邊界層中，馬蹄渦與發(fā)卡渦在結(jié)構(gòu)上稍有不同，通常在動(dòng)量厚度雷諾數(shù)大于800時(shí)稱為發(fā)卡渦，低于此值時(shí)渦頭部分通常較寬，因此稱為馬蹄渦［6－7］。以前人們認(rèn)為這種馬蹄渦(或發(fā)卡渦)結(jié)構(gòu)可用對(duì)稱的一對(duì)反向旋轉(zhuǎn)的流向渦對(duì)來表示［8］。最近的研究發(fā)現(xiàn)［2，6－7，9］，湍流近壁區(qū)的擬序結(jié)構(gòu)不僅存在對(duì)稱的流向渦對(duì)，而且絕大多數(shù)流向渦對(duì)更是以非對(duì)稱形式存在，這種結(jié)構(gòu)有時(shí)甚至是以一個(gè)流向渦的形式出現(xiàn)，這種現(xiàn)象引起人們的很大興趣。

在不同的數(shù)值方法中，大渦模擬(LES)方法相比于雷諾平均方法(RANS)，能夠顯示出流場(chǎng)的細(xì)節(jié)和瞬態(tài)過程［10］，而對(duì)計(jì)算資源的需求大大小于直接數(shù)值模擬(DNS)方法，所以本文是采用LES方法研究三維馬蹄渦的結(jié)構(gòu)。

對(duì)于采用LES方法的湍流模擬，如果直接從一般層流開始轉(zhuǎn)捩到湍流，那么計(jì)算湍流場(chǎng)則需要附加很大的計(jì)算量。因此本文采用進(jìn)口給定三維擾動(dòng)波方法［11－12］，作為大渦模擬的湍流進(jìn)口邊界的給定方法，模擬了可壓縮三維槽道湍流流動(dòng)。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，與DNS解的數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，并對(duì)近壁湍流的馬蹄渦結(jié)構(gòu)的演化進(jìn)行了深入的研究和分析。

1 控制方程

對(duì)預(yù)處理下［13－14］的可壓縮流 Navier-Stokes方程，采用Faver提出的密度加權(quán)過濾方法，得到曲線坐標(biāo)系下，無量綱通量形式的LES控制方程為:

式中，上標(biāo)“－”表示系統(tǒng)平均，“～”表示細(xì)網(wǎng)格過濾，轉(zhuǎn)換矩陣 M= ?Q/?q，原始變量為為守恒變量。Re為特征雷諾數(shù)表示亞格子粘性應(yīng)力為亞格子熱流通量，雅克比矩陣轉(zhuǎn)換矩陣

需要注意的是，Γ=diag{1 1 1 1 β(Mr)}為預(yù)處理矩陣［13－14］，預(yù)處理參數(shù) β 的選取:若 Mr＜1.0，β(Mr)=Mr2;若Mr≥1.0，β(Mr)=1.0。其中為特征馬赫數(shù)。這里采用預(yù)處理技術(shù)，主要是為了改善邊界層近壁區(qū)低馬赫數(shù)流動(dòng)情況下的計(jì)算格式的穩(wěn)定性以及加快計(jì)算結(jié)果的收斂性。

2 數(shù)值方法

將對(duì)控制方程使用有限體積法進(jìn)行離散，粘性項(xiàng)采用二階中心格式，對(duì)流項(xiàng)采用六階精度對(duì)稱WENO格式，時(shí)間推進(jìn)采用三步Runge-Kutta法進(jìn)行精確求解。其亞格子模型、計(jì)算域和進(jìn)口邊界條件分述如下:

2.1 亞格子模型

建立合理的亞格子模型是大渦模擬的關(guān)鍵，Smagorinsky模型是廣泛使用的一種亞格子模型，表達(dá)式如下［15］:

相應(yīng)的亞格子熱流通量為:

但是該模型存在著某些缺陷，如系數(shù)C實(shí)際最佳值取決于運(yùn)動(dòng)流體的性質(zhì)與狀態(tài)而不是常數(shù)，且模型未體現(xiàn)流體壓縮性的影響等，因此本文采用Germano提出的動(dòng)態(tài)亞格子模型，具體如下［15］:

動(dòng)態(tài)模型是動(dòng)態(tài)確定亞格子渦粘系數(shù)C，對(duì)湍流場(chǎng)做粗細(xì)兩次過濾，并假設(shè)粗網(wǎng)格上最小脈動(dòng)產(chǎn)生的應(yīng)力等于粗細(xì)網(wǎng)格分別過濾產(chǎn)生的亞格子應(yīng)力之差，在此基礎(chǔ)上用最小二乘法推導(dǎo)出亞格子模型中的系數(shù)C如下:

其中:

式中，上標(biāo)“^”表示粗網(wǎng)格過濾，“＜ ＞”表示在統(tǒng)計(jì)方向上平均量。

2.2 計(jì)算域

計(jì)算域見圖1(a)，計(jì)算中選取進(jìn)口湍流邊界層的位移厚度δ*作為特征長(zhǎng)度，計(jì)算域無量綱尺度取為50×10×8，分別對(duì)應(yīng)流向x、法向y和展向z的長(zhǎng)度。三個(gè)方向上計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)分別取為192×96×64，在流向和展向上計(jì)算網(wǎng)格平均分布，而在法向上的近壁區(qū)域內(nèi)進(jìn)行加密。按照進(jìn)口邊界條件確定的網(wǎng)格尺度為△x+=13.0，△z+=6.25，第一層網(wǎng)格的y+=0.23，粘性底層區(qū)域(即 y+=10)內(nèi)有22個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，x-y面局部網(wǎng)格如圖1(b)。為了方便并行計(jì)算將網(wǎng)格平均分為4份，每份在一個(gè)CPU上計(jì)算，編號(hào)依次從0到3，如圖1(a)，利用MPI來傳遞各區(qū)之間信息交換，并行計(jì)算。

流場(chǎng)初始化在邊界層內(nèi)采用Spalding湍流平均速度剖面。在計(jì)算域的出口給定反壓，兩邊的展向位置給定周期性邊界條件，在上邊界采用對(duì)稱邊界條件，平板壁面處采用絕熱無滑移邊界條件。因此圖1中所給出的僅是法向y上的半個(gè)槽道區(qū)域。

圖1 計(jì)算域及網(wǎng)格示意圖Fig.1 Schematic of the parallel computational domain decomposition

2.3 進(jìn)口邊界條件

在計(jì)算域進(jìn)口采用了進(jìn)口給定三維擾動(dòng)波方法，這是基于目前湍流研究者普遍認(rèn)同的湍流是擬序結(jié)構(gòu)的組合這一假設(shè)，在進(jìn)口產(chǎn)生包括時(shí)間和空間變化的擬序結(jié)構(gòu)，即擾動(dòng)波。這種方法相比于其它常用的湍流進(jìn)口給定方法，是簡(jiǎn)單可行的，其進(jìn)口發(fā)展段更短，更適用于工程上使用。

進(jìn)口邊界條件，主要是確定進(jìn)口處的瞬時(shí)速度。進(jìn)口處瞬時(shí)速度通常由三部分組成:瞬時(shí)值=平均值+擾動(dòng)值+隨機(jī)噪音。平均值是采用Spalding湍流平均速度剖面，隨機(jī)噪音的最大幅值不超過平均自由流速度的1%。

對(duì)于擾動(dòng)值的確定，本文直接給定三維波。通常湍流邊界層按動(dòng)態(tài)特征可分為內(nèi)層和外層，這種方法是認(rèn)為內(nèi)層中存在低速條帶，用一道三維波表示，而把外層中的擾動(dòng)波用三維基波和亞諧波組合的渦結(jié)構(gòu)［11－12］來表示。其公式［11］及參數(shù)的選擇如下:

式中，展向速度w按照自由散度條件由u和v解出，基本參數(shù)參照表1。表中的ωj是脈動(dòng)頻率，βj是展向波數(shù)，φj是相位。

表1 湍流邊界層進(jìn)口湍流脈動(dòng)參數(shù)Table 1 Parameters of inflow turbulent fluctuations for the turbulent boundary-layer

3 結(jié)果與討論

湍流邊界層的結(jié)構(gòu)是三維的，邊界層外緣具有弱的自由剪切層的性質(zhì)，內(nèi)外層之間有相互作用，內(nèi)層又受到壁面的抑制，因此湍流邊界層內(nèi)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜。為了檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的可靠性，這里首先把計(jì)算結(jié)果與Spalart的DNS解［16］等進(jìn)行了比較，然后對(duì)LES計(jì)算得到的馬蹄渦結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。文中算例的馬赫數(shù)Mr=0.6，基于動(dòng)量厚度和自由流速度的雷諾數(shù)為670(對(duì)應(yīng)于基于位移厚度和自由流速度的雷諾數(shù)為1000)。

3.1 時(shí)間平均速度和表面摩擦系數(shù)

圖2(a)是LES計(jì)算得到的平均速度剖面圖，同時(shí)給出了Spalart的DNS的結(jié)果［16］。由圖可以看出，本文的LES計(jì)算結(jié)果與相同雷諾數(shù)下的DNS精確解符合的很好，說明了所采用的進(jìn)口剖面在經(jīng)過很短的發(fā)展段之后，已發(fā)展成穩(wěn)定的湍流。

圖2(b)是湍流脈動(dòng)速度，即湍流強(qiáng)度分布圖，其縱坐標(biāo)是脈動(dòng)速度的絕對(duì)值(已用自由流速度無量綱化)。該圖也將LES計(jì)算值與Spalart的湍流DNS解進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)各個(gè)方向上的湍流強(qiáng)度的幅值與DNS解基本一致，僅在流向脈動(dòng)速度的幅值稍有偏離，其原因可能是DNS解為不可壓縮流計(jì)算的結(jié)果，而本文的LES解是預(yù)處理下可壓縮流計(jì)算的結(jié)果。

圖2(c)是時(shí)間平均和展向平均的表面摩擦系數(shù)Cf。可以看到從計(jì)算域入口僅經(jīng)過很短的入口過渡距離，大約在流向Rex為139000時(shí)，計(jì)算的Cf就符合了湍流的經(jīng)驗(yàn)值。在圖2中，湍流摩擦系數(shù)Cf并不是完全符合湍流的經(jīng)驗(yàn)值，而是存在波動(dòng)，這是由于湍流的非定常性引起的。

3.2 湍流邊界層的馬蹄渦結(jié)構(gòu)

本節(jié)對(duì)計(jì)算得到的湍流邊界層內(nèi)馬蹄渦結(jié)構(gòu)的演化進(jìn)行分析，其中給出的時(shí)間是以進(jìn)口標(biāo)準(zhǔn)周期T為單位。因?yàn)闇u核處存在強(qiáng)的渦量及最小壓力值，所以采用拉普拉斯壓力［17］P，kk=(ωiωi/2 － SijSij)的正的等值面是很容易識(shí)別擬序結(jié)構(gòu)的，以下圖中渦結(jié)構(gòu)顯示均為P，kk=0.6 的等值面。

3.2.1 馬蹄渦的形成和演化

圖3是t=6.62T時(shí)的速度云圖和流場(chǎng)渦結(jié)構(gòu)，圖中深藍(lán)色區(qū)域?yàn)榈退賲^(qū)域。圖中可以清楚地看到流場(chǎng)存在很多的流向渦結(jié)構(gòu)，這些流向渦結(jié)構(gòu)與低速條帶是相對(duì)應(yīng)的，流向渦在x-z平面內(nèi)是左右擺動(dòng)、交替出現(xiàn)的，因而高低速條紋是左右擺動(dòng)而不單純是流向的。這和文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［18］中的結(jié)論一致。

圖4中顯示了對(duì)稱流向渦對(duì)形成馬蹄渦結(jié)構(gòu)的過程，這個(gè)結(jié)構(gòu)在后面的圖8中的標(biāo)號(hào)為E1。正如圖3中提到的，流向渦結(jié)構(gòu)左右擺動(dòng)，在圖4中可以看到，當(dāng)兩條流向渦相互靠近時(shí)，兩渦腿的頭部之間會(huì)形成橋狀的展向渦結(jié)構(gòu)，進(jìn)而合并融合而成的，這種對(duì)稱產(chǎn)生的馬蹄渦結(jié)構(gòu)形成過程與文獻(xiàn)［5］的DNS解一致。

圖2 LES計(jì)算結(jié)果與DNS解和經(jīng)驗(yàn)公式的對(duì)比Fig.2 Comparison of result by LES，DNS and experiential formula

圖3 流場(chǎng)渦結(jié)構(gòu)與低速條帶俯視圖Fig.3 Top view of vortex structures and low-speed streaks in flow field

圖4 對(duì)稱流向渦形成的馬蹄渦結(jié)構(gòu)Fig.4 Generation of the horseshoe-shaped structures by symmetric streamwise vortex

兩條渦腿相互靠近會(huì)形成帶兩條長(zhǎng)渦腿的馬蹄渦結(jié)構(gòu)，文中的計(jì)算結(jié)果也清楚地展示了這一點(diǎn)，但是如果兩條渦腿距離較遠(yuǎn)，則馬蹄渦結(jié)構(gòu)的渦頭不會(huì)封閉，出現(xiàn)中間開口的現(xiàn)象，這樣最終形成由單側(cè)流向渦腿形成的馬蹄渦結(jié)構(gòu)。圖5顯示了F1結(jié)構(gòu)由沿流向傾斜的流向渦發(fā)展為馬蹄渦的過程，F(xiàn)1馬蹄渦的渦腿是在右側(cè)。圖5(a)中，F(xiàn)1為流向渦，其圖中顯示的流向渦的渦頭部分在自誘導(dǎo)的作用下向上抬頭，同時(shí)向一側(cè)的展向傾斜。圖5(b)、圖5(c)中可以看到這個(gè)向展向傾向的渦頭沿展向拉伸，因此渦頭部分的渦管變細(xì)，沿展向的長(zhǎng)度變長(zhǎng)。在圖5(c)、圖5(d)中可以看到，渦頭的展向部分在拉伸的同時(shí)，在擾動(dòng)的作用下，形成小的馬蹄渦。在圖5(e)～圖5(h)可以看到這個(gè)單側(cè)渦腿的馬蹄渦較短渦腿的形成過程，它正如Robinson所述的帶有單側(cè)渦腿的馬蹄渦形成過程那樣［6］(如圖6(a))，馬蹄渦的頸部向壁面移動(dòng)，逐漸下降并拉伸成一個(gè)加長(zhǎng)的渦腿。在圖5(e)、圖5(f)，可以看到在馬蹄渦的短渦腿側(cè)出現(xiàn)了細(xì)碎的渦管a1，這是在頸部的移動(dòng)、下降和拉伸時(shí)，這個(gè)被加長(zhǎng)的渦腿的渦量較弱，在圖中不能完全顯示出來，因此看上去這個(gè)渦腿是斷開的。圖6(b)是Delo等人［7］在實(shí)驗(yàn)中得到了類似馬蹄渦和流向渦的結(jié)果。圖中標(biāo)號(hào)為作者對(duì)流場(chǎng)中可能的渦結(jié)構(gòu)的注釋，其中V6是指流向渦，V4是指可能的單腿馬蹄渦，這個(gè)馬蹄渦的渦腿在左側(cè)。

圖5 單側(cè)流向渦形成的較小馬蹄渦對(duì)結(jié)構(gòu)Fig.5 Generation of the horseshoe-shaped vortex pair by the one-side streamwise vortex

圖6 湍流邊界層中馬蹄渦Fig.6 The horseshoe-shaped vortex in the turbulent boundary layer

由于文中進(jìn)口邊界條件所產(chǎn)生的是反向旋轉(zhuǎn)的流向渦對(duì)，因此計(jì)算結(jié)果中這種單側(cè)渦腿形成的馬蹄渦結(jié)構(gòu)總是成對(duì)出現(xiàn)的，如在后面的圖8中標(biāo)識(shí)的F1和F2及F3和F4結(jié)構(gòu)。圖7(a)是 t=5.94T時(shí)刻，F(xiàn)1和F2馬蹄渦的俯視圖和側(cè)視圖，俯視圖中的背景為速度云圖，圖中深藍(lán)色區(qū)為低速區(qū)。在俯視圖中可以看到F1和F2結(jié)構(gòu)都騎跨在低速條帶上，在側(cè)視圖中可以看到馬蹄渦頭部的抬起。

圖7(b)是t=5.98T時(shí)刻的典型馬蹄渦結(jié)構(gòu)渦腿處速度矢量場(chǎng)。可以看到，F(xiàn)1結(jié)構(gòu)中環(huán)繞馬蹄渦結(jié)構(gòu)兩條流向渦腿的流體是反向旋轉(zhuǎn)的，因此在兩條流向渦腿之間的流體存在強(qiáng)烈的上升，而在兩條渦腿外側(cè)，流體下掃。同時(shí)還注意到，在兩條渦腿之間還存在一些碎的流向渦結(jié)構(gòu)，而流體在流向渦兩側(cè)同樣也形成上升和下掃運(yùn)動(dòng)。

3.2.2 亞諧波影響下的馬蹄渦結(jié)構(gòu)

圖7 單腿馬蹄渦細(xì)節(jié)圖Fig.7 Particular view of one-side horseshoe vortices

圖8顯示的是流場(chǎng)中存在的擬序結(jié)構(gòu)，為更清楚起見，把計(jì)算結(jié)果沿展向擴(kuò)展了一個(gè)周期。我們注意到，圖8中計(jì)算域的前面部分(即圖中點(diǎn)劃線之前)為進(jìn)口發(fā)展段，這里的擬序結(jié)構(gòu)只是研究在這之后(即點(diǎn)劃線之后)的結(jié)果。圖中顯示了在湍流場(chǎng)中存在很多馬蹄渦，且這些馬蹄渦結(jié)構(gòu)的形狀并不是規(guī)則一致的，也不存在嚴(yán)格的對(duì)稱性。文獻(xiàn)［2］、文獻(xiàn)［9］指出，這是由于湍流的非定常性影響，即湍流脈動(dòng)會(huì)扭曲渦管的發(fā)展，從而很難在湍流邊界層中得到完整一致的馬蹄渦。

圖8(a)、圖8(b)分別顯示了兩個(gè)不同時(shí)間的流場(chǎng)擬序結(jié)構(gòu)圖，圖中標(biāo)示的大寫英文字母序列表示在亞諧波影響下出現(xiàn)的馬蹄渦結(jié)構(gòu)。如圖8中所示，可以發(fā)現(xiàn)近壁區(qū)存在幾種對(duì)稱流向渦對(duì)形成的馬蹄渦的復(fù)雜結(jié)構(gòu)(如E1到E3所標(biāo)識(shí)的擬序結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)的渦頭部分的形成如圖4中所示)，但是基本的流動(dòng)特征還是表示為亞諧波失穩(wěn)引起的對(duì)稱產(chǎn)生的馬蹄渦交錯(cuò)出現(xiàn)。即沿流向x方向看，前一個(gè)對(duì)稱產(chǎn)生的馬蹄渦結(jié)構(gòu)中心位置與后一個(gè)對(duì)稱產(chǎn)生的馬蹄渦結(jié)構(gòu)中心位置沿流向并不是在一條直線上的，前排結(jié)構(gòu)與后排結(jié)構(gòu)的展向位置呈叉排交錯(cuò)分布。另外，在圖8中還可以發(fā)現(xiàn)，在兩組對(duì)稱產(chǎn)生的馬蹄渦結(jié)構(gòu)之間通常存在著由單側(cè)渦腿產(chǎn)生的較小馬蹄渦結(jié)構(gòu)(如F1到F4所標(biāo)識(shí)的擬序結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)的渦頭部分的形成如圖5中所示)。此外，還可以看到在兩組結(jié)構(gòu)之間沿展向不均勻分布著流向渦結(jié)構(gòu)，這些流向渦結(jié)構(gòu)總是左右擺動(dòng)，而不是單純的沿流向向前發(fā)展。

圖8 湍流場(chǎng)中存在的渦結(jié)構(gòu)Fig.8 Vortex structures at different time instants

由上面的論述可知，流向渦結(jié)構(gòu)在向下游發(fā)展過程中，既能單獨(dú)演化，又有相互作用。單獨(dú)演化時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)單側(cè)渦腿產(chǎn)生的較小馬蹄渦，相互作用則可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)流向渦結(jié)構(gòu)相互靠近合并成較大馬蹄渦結(jié)構(gòu)。同時(shí)這些馬蹄渦形狀結(jié)構(gòu)并非完全對(duì)稱的。

4 結(jié)論

本文采用動(dòng)態(tài)亞格子模型和預(yù)處理的大渦模擬方法對(duì)槽道可壓縮流湍流進(jìn)行了精確的數(shù)值模擬，得到了滿意的結(jié)果。通過對(duì)結(jié)果的分析比較，可以得出以下結(jié)論:

(1)文中LES計(jì)算得到的湍流平均速度剖面、湍流強(qiáng)度及平均表面摩擦系數(shù)，與精確的DNS解和經(jīng)驗(yàn)公式符合得很好，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的可靠性;

(2)計(jì)算結(jié)果表明，湍流場(chǎng)內(nèi)的流向渦結(jié)構(gòu)與低速條帶是相對(duì)應(yīng)的，流向渦在x-z平面內(nèi)會(huì)左右擺動(dòng)、交替出現(xiàn)，因而快慢條紋會(huì)左右擺動(dòng)、而不單純是流向的;

(3)結(jié)果清楚地展示了湍流場(chǎng)中的流向渦演化成馬蹄渦的過程，這些流向渦向下游的發(fā)展過程中，既可以相互作用，由對(duì)稱渦腿產(chǎn)生馬蹄渦結(jié)構(gòu)，又能單獨(dú)演化成單側(cè)渦腿的馬蹄渦結(jié)構(gòu)。特別是，在亞諧波的作用下，湍流場(chǎng)中可能會(huì)出現(xiàn)的復(fù)雜馬蹄渦結(jié)構(gòu)，這些對(duì)稱渦腿產(chǎn)生的馬蹄渦相互之間是交錯(cuò)出現(xiàn)的，這些結(jié)構(gòu)由于湍流擾動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)形狀也不是嚴(yán)格對(duì)稱的現(xiàn)象。

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