類比法在線性代數教學中的運用

張啟明，唐先華

(1．湖南工業大學理學院，湖南株洲412007;2．中南大學數學科學與計算技術學院，湖南長沙410081)

類比法在線性代數教學中的運用

張啟明1，唐先華2

(1．湖南工業大學理學院，湖南株洲412007;2．中南大學數學科學與計算技術學院，湖南長沙410081)

主要討論了類比法在線性代數教學中的運用，并舉例說明。同時，提出了運用類比法進行線性代數教學時應注意的幾個問題。這些為線性代數教學提供了一些新的思路。

類比法;線性代數;教學;運用

實驗、觀察、歸納、類比、聯想等方法是數學方法論中很重要的思想方法。其中，“類比推理是指根據兩個不同的對象在某些方面(如特征、屬性、關系等)的類同之處，猜測這兩個對象在其它方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法。”［1］Goswami認為，類比推理是人類認知發展的核心能力之一。它不僅在分類問題和學習中涉及到，而且為人類思維和簡析提供了一種工具，對科學發現和創造性思維都有十分重要的作用。［2］本文以劉金旺、夏學全主編的《線性代數》教材［3］為依據，討論如何運用類比法進行線性代數教學以及運用類比法進行教學時應注意的問題，以提高教學效率，充分激發學生的創造性，為線性代數教學提供新的思路。邏輯學上所說的類比一般指由特殊到特殊的一種推理方法，是特殊與特殊的比較，但習慣上，我們把從特殊到一般的比較也稱為類比。本文所討論的類比是合二為一，將前面提到的這兩種情形不加區別對待。

一 類比法在線性代數教學中的運用

教材［3］中，除選學內容外，教學內容主要有行列式、矩陣、向量空間、線性方程組及特征值與二次型等。設計教材時，我們一般會根據知識層次構成其章節段落。教學中，通過類比，輔以聯想，觸類旁通，幫助學生將各知識點理順成一個息息相關的脈絡，并能激發學生的“靈感”，培養學生的創造能力，是數學教師所追求的一種理想境界。下面從兩方面探討如何運用類比法進行線性代數的教學。

(一)形式類比

形式類比是指由類比對象的表面相似而得到的兩種事物之間的對應關系。在數學的類比推理中，由于數學是一種符號語言，形式類比一般比較直接，有時通過一個表達式進行聯想就可類比出另一個表達式。一般地，通過形式類比，可以得出一些數學概念、定理、解題方法等。就線性代數而言，由于其內容抽象豐富，需要掌握的概念，引理及定理非常多，且自身的語言符號系統非常復雜，解題方法和技巧也靈活多變，給學生學習帶來了重重困難。因而，教學時，有必要幫助學生將學習內容理順成一個知識脈絡，并由于其語言符號系統的特點，進行形式類比推理的機會還是挺多的。下面舉例說明:

例1:二、三階行列式的定義→n階行列式的定義

中學數學中，用消元法解二元線性方程組和三元線性方程組分別得出了二階和三階行列式，設元素aij的2個下表i和j分別表示aij所在的行與列的序數，則它們的展開式分別為

仔細觀察，可發現式(1)和式(2)具有以下規律:

展開式都是一些項的代數和，其中項數分別為2!和3!，每一項都分別由位于不同行不同列的兩個數相乘和三個數相乘，且符號為正和符號為負的項數各占一半。將每一項中元素的行標按自然順序排列，并根據列標的排列規律，引入逆序數的概念，則每項的符號分別為(－1)τ(j1j2)，其中 j1，j2∈ {1，2}和 τ(j1j2j3)，其中 j1，j2，j3∈ {1，2，3}。

通過類比，n階行列式的展開式就很容易得到了。

例2:(1)克雷姆法則→(2)解n個未知數n個方程的齊次線性方程組→(3)解n個未知數m(m≤n)個方程的齊次線性方程組

顯然，例2中(2)的討論對象是(1)的討論對象的特殊情形，(1)的討論對象又是(3)的討論對象的特殊情形。(1)是利用行列式討論n個未知數n個方程的齊次線性方程組的解法，且通過對(1)、(2)的討論對象進行類比推理，可以由(1)得出(2)有非零解的判定定理。(2)有非零解的充要條件為(2)中方程組的系數行列式為零，也即該方程組的系數矩陣A的行(列)向量組線性相關，也即秩r(A)＜n，從而將(2)、(3)的討論對象進行類比推理，并對(3)中方程組所對應的的系數矩陣B進行初等行變換，也可得出(3)有非零解的判定定理，即(3)有非零解的充要條件為r(B)＜ n。

例2中類比推理經歷了“一般→特殊→一般”的過程。

例3:計算行列式

分析:由D的形式受到啟發，通過類比，聯想到下三角行列式，但第一行不符合下三角行列式要求，于是嘗試轉化，將D拆分成兩個行列式的和:

記上式右端第2個行列式為Δ，可將Δ化為上三角行列式:

從而D轉化為一個下三角行列式和一個上三角行列式的和。

由例3可以看出，類比推理恰是確定化歸方向，實現化歸的一把鑰匙。

例4:普通矩陣運算→分塊矩陣運算

分塊矩陣中的每一元素均為子塊矩陣。形式上，分塊矩陣與普通矩陣很類似。討論分塊矩陣運算時，憑“數感”，我們應與普通矩陣運算進行類比推理，然后再一一去論證。

(二)內容(功能)類比

數學的類比推理主要是內容(功能)類比。內容類比實際上是討論類比對象間的深層次聯系，因而更具有復雜性和創造性。線性代數教學中，內容類比不僅有利于梳理和鞏固知識(特別是復習課教學)，而且有利于學生接受新知識，培養學生的創造能力。下面也舉例說明:

例5:余子式(代數余子式)→k階子式→順序主子式

由教材［3］知余子式(代數余子式)屬于第一章中行列式計算的內容;k階子式屬于第二章中矩陣的秩的內容;順序主子式屬于第五章中正定二次型的內容。教學時，余子式(代數余子式)、k階子式、順序主子式不僅可以進行形式類比，更應該進行內容類比;不僅在新課講授時進行類比，而且在復習課中也應進行類比。這三者在內容類比推理中兩次經歷了“一般→特殊”的過程。

例6:矩陣等價→矩陣相似→矩陣合同

矩陣理論中，矩陣等價關系、相似關系、合同關系是指:

(1)A和B等價存在可逆矩陣P和Q，使得B=PAQ;

(2)A和B相似存在可逆矩陣P，使得B=P－1AP;

(3)A和B合同A，B均為對稱矩陣，秩r(A)=秩r(B)，且存在可逆矩陣P，使得B=PTAP。

矩陣相似和矩陣合同均為矩陣等價的特殊情形，且矩陣相似不一定矩陣合同，矩陣合同也不一定矩陣相似，但存在兩矩陣既相似又合同的情形。因此，類似于例5的分析，我們應深入進行內容類比推理，得出這3種關系的類同點和相異點，使學生有較為清楚的認識。

例7:向量組的線性無關性→向量組的秩→線性空間的維數

向量組的秩即向量組的極大線性無關組所含向量的個數。線性空間的維數即線性空間的任意一個基所含向量的個數。向量組的極大線性無關組這一概念與線性空間的基的概念是對應的。將向量組的線性無關性，向量組的秩，線性空間的維數進行內容類比推理經歷了“一般→特殊→一般”的過程。

二 運用類比法進行線性代數教學時應注意的問題

類比是最活躍、最基本的一種推理形式，它具有跳躍性和可靠程度低兩個特點［4］。因而，線性代數教學中進行類比推理時，應注意如下兩個方面的問題:

(一)類比必須合情合理

由于類比具有一定的跳躍性，因此，類比推理時不能天馬行空，憑空想像，應合情合理，仔細比較兩個類比對象的異同點。一般說來，兩個類比對象的相似屬性越多，且相似屬性的關系越緊密，由此類比得出其它屬性具有一定相似性的可能性更大，可靠度更高。線性代數教學中，除第1部分所舉的7個例子外，可進行類比推理的知識點還是挺多的，但這給教師提出了較高要求，畢竟教無定法，教無止境，真正做到觸類旁通不是一件簡單的事情。

(二)類比推理所得結論應嚴格證明

由于類比推理與主體的知識內涵，教育背景，抽象概括能力以及類比對象的差異等因素關系密切，因而，類比推理往往具有復雜性和不可靠性。數學是崇真尚美的學科，追求真善美的統一，類比推理所得結論正確與否必須經過嚴格的推理證明。

總之，線性代數教學中，我們應潛心觀察，靈活處理教材，熟練運用類比法以提高教學效率，培養學生的創造能力，實現“教學相長，教學雙贏”的目標。

［1］史久一，朱梧槚．化歸與歸納·類比·聯想［M］．大連:大連理工大學出版社，2008．

［2］王儒芳，李 紅．表面相似性類比推理問題解決中的情感效應［J］．寧波大學學報(教育科學版)，2005(2)．

［3］劉金旺，夏學全．線性代數［M］．第3版．上海:復旦大學出版社，2009．

［4］袁希娟，龔 耘．淺談類比法［J］．河北理工學院學報(社會科學版)，2003(1):84 －88．

G642．0

A

1674－5884(2011)10－0076－03

2011－07－18

湖南省教育科學“十一五”規劃重點項目(XJK08AGD004);湖南省教育廳教改項目(20083263);湖南省教育廳《線性代數》精品課程資助項目(湘教通［2009］252);湖南工業大學教學改革研究基金資助項目(2010D31)

張啟明(1974－)，女，湖南漣源人，副教授，博士研究生，主要從事微分方程及動力系統、圖論及其應用、高等數學教學與研究。

(責任編校 謝宜辰)