多元函數條件極值案例分析

郭淑娟 王福利 周樺

(常州大學數理學院江蘇常州213164)

多元函數條件極值案例分析

郭淑娟 王福利 周樺

(常州大學數理學院江蘇常州213164)

多元函數條件極值問題是高等數學的一個教學難點，特別是拉格朗日乘數法，計算量往往很大。在教學中我們的體會是:有些實際問題通過化為條件極值問題，可以運用拉格朗日乘數法解決，但是解決條件極值問題還有很多其他方法，如均值不等式法、三角函數法、拋物線法等等。通過對幾個典型教學案例的分析，說明了選用恰當的方法是簡捷有效解決問題的前提。

條件極值;拉格朗日乘數法;均值不等式;三角函數

多元函數條件極值問題是高等數學的一個教學難點。特別是拉格朗日乘數法，因為要解一個多元方程組(一般為非線性)，因而計算量往往較大。但由于這個問題較單純的多元函數求極值問題具有廣泛的應用背景，所以又受到各相關專業的重視。在教學中的體會是:對于一些復雜的實際問題可以采用數學建模的方法將其化為條件極值問題，運用拉格朗日乘數法解決;同時，要注意到解決條件極值問題還有很多其他方法，如均值不等式法、三角函數法、拋物線法等。在教學實踐中發現:只有方法選用恰當，才會使解決問題簡捷有效。下面通過對幾個典型教學案例的分析闡明觀點。

1 多元函數條件極值問題的幾種解法

1.1 拉格朗日乘數法［1］

對于條件極值問題

引入拉格朗日函數L(x，y，λ)=f(x，y)+ λφ(x，y)。

解方程組(2)，其解(x0，y0)為可能的極值點(駐點)，通過進一步驗證判斷(x0，y0)是否為極值點，是極大還是極小。如果是實際問題，并且求出了唯一的駐點，而問題本身的極大(或極小)值一定存在，則駐點即為極值點;如果問題沒有實際背景，或者雖然有，但究竟是極大還是極小事先未知，則需要采用其他手段進一步驗證，如極值的二階充分條件。

1.2 均值不等式方法［2］

若a1，a2，…，an為n個正數，則如下不等式成立。

(等號成立當且僅當a1=a2=…=an)

根據(3)式得出:在a1+a2+…+an為定值的條件下，當a1=a2=…=an時，a1a2…an取最大值;反之，在a1a2…an為定值的條件下，當a1=a2=…=an時，a1+a2+…+an取最小值。

此外還可以根據正弦函數，余弦函數以及二次拋物線等方法求極值。

2 案例分析

首先，給出一個使用拉格朗日乘數法求解的典型例子:

例1:設生產某種產品必須投入兩種要素。x1和x2分別為兩種要素的投入量，Q為產出量。若生產函數為，其中，α，β為正常數，且α+ β=1。假設兩種要素的價格分別為p1和p2，試問當產出量為12時，兩要素各投入多少可使投入的總費用最少?(1999年數三考研題［3］)

解:對于

令L(x1，x2，λ)=p1x1+p2x2+

解方程組

得到x1=。因為駐點唯一，

而實際問題的最小總費用存在，因而該點為最小值

其次，有些問題雖然可以使用拉格朗日乘數法，但計算量卻非常大。下面來看教材上的一個例子。

例2［1］:求函數u=xyz在附加條件下的極值:

說明:這是教材［1］中運用拉格朗日乘數法求條件極值部分的第二個例子。在其給出的解答中，唯一的駐點是(3a，3a，3a)。但由于問題并沒有實際背景，所以該點是否為極值點，以及是極大還是極小都需要進一步驗證。接下來作者講要“把條件(6)確定的隱函數記作z=z(x，y)，將目標函數改寫成u=xyz(x，y)=F(x，y)，再應用二元函數極值的充分條件判斷，可知點(3a，3a，3a)是函數u=xyz在條件(6)下的極小值點?！卑凑兆髡咴O計的路線，計算出了u=F(x，y)，然后進一步對其求二階偏導數，并計算其在(3a，3a)處的值，判定該點是否為極值點。由于這個工作量非常大，懷疑這個例子放在此地的合理性。下面給出使用均值不等式的解法:

由上述解答過程可知:方法選用恰當，可以使問題的解決簡捷有效。還有些問題可以用多種方法解決。

解一:運用拉格朗日乘數法，這里目標函數為f(x，y，z)=z，約束條件為

令L(x，y，z，λ)=z+λ(x2+y2－2z2)+ μ(x+y+3z－5)，解方程組

得到兩個駐點(1，1，1)，(－5，－5，5)?？紤]到曲線c是一個橢圓，其到xoy面的最遠點和最近點一定存在。因此(－5，－5，5)為最遠點，(1，1，1)為最近點。

因而c到xoy面的最遠點是(－5，－5，5)，最近點是(1，1，1)。

解三:運用拋物線法，由曲線方程得到

因而有z2－6z+5≤0，解之得1≤z≤5。注意到(8)式中等號成立當且僅當x=y，代入曲線c的方程得到，x=y=1時，z=1;x=y=－5時，z=5。因而，曲線C到xoy面的最遠點是(－5，－5，5)，最近點是(1，1，1)。

從以上對例3的幾種解法可以看出:對于有些問題采用初等方法有時思路直接，計算簡便。

此外，一些不等式的證明也可以運用條件極值的方法來解決。

例4［5］:證明不等式

其中a，b，c是任意非負實數。

證明:將問題改寫為以下條件極值問題

運用拉格朗日乘數法，令L(x，y，z，λ)= xy2z3+λ(x+y+z－6M)，解方程組

得到唯一的駐點(M，2M，3M)。考慮到f(x，y，z)的定義域

D={(x，y，z)∈R3∣x，y，z≥0，x+y+z=6M}為R3中的有界閉區域，因而f(x，y，z)在區域D上必有最大最小值。顯然其最小值在區域的所有邊界點取到，因而最大值必在區域內部取到，所以該駐點為最大值點，最大值為108M6。從而有f(x，y，z)≤ 108M6，即xy2z3≤108，因而結論成立。

3 結束語

對于一類紛繁復雜的實際問題，可以采用數學建模的方法將其化為條件極值問題，然后運用拉格朗日乘數法予以解決，如例1、例4所示。同時，又要避免在教學上出現形而上學的做法，凡是條件極值問題都拿來用拉格朗日乘數法，而將以前學習過的諸多方法束之高閣。事實上，由于高中階段的強化訓練，學生很容易想到用一些初等方法求極值，況且由于方法本身的簡捷有效，有可能使問題變得簡單易解，如例2、例3所示。

在教學過程中，教師既要備教材，也要備學生，要了解學生已有的知識體系，使新知識與學生已有的知識形成一個緊密聯系的網絡，只有這樣才能真正使學生提高解決問題的能力。如果一味地將大學課本里的知識奉為圣賢，與中學階段隔離開來，那只能使之成為無源之水、無本之木。

［1］同濟大學數學系.高等數學(下冊)［M］.6版.北京:高等教育出版社，2007:116.

［2］葉其孝，沈永歡.實用數學手冊［M］.2版.北京:科學出版社，2006:11.

［3］本書編寫組.全國碩士研究生入學統一考試數學參考書［M］.北京:高等教育出版社，2009:124.

［4］本書編寫組.全國碩士研究生入學統一考試數學考試分析［M］.北京:高等教育出版社，2009:123-126.

［5］吳贛昌，高等數學(下冊)［M］.北京:中國人民大學出版社，2006:54.

Analysis of Cases on Conditional Extremum of Function of Several Variables

GUO Shu-juan WANG Fu-li ZHOU Hua
(School of Physics and Mathematics，Changzhou University，Changzhou 213164，China)

In Advanced mathematics，conditional extremum of function of several variables is a difficulty for teachers and students，especially Lagrange method of multipliers，for its big calculation workload.Based on the teaching，we have obtained some experiences as follows，a practical problem can be translated into a problem of conditional extremum and solved by Lagrange method of multipliers，but there are also some other methods to solve the problem，such as the method of mean value inequality，trigonometric function，parabola，etc.By analyzing several typical cases in different methods，we can conclude that the premise of solving the problem simply and effectively is to select appropriate method.

conditional extremum;Lagrange method of multipliers;mean value inequality;trigonometric function

O 174.1

A

1672-2434(2011)02-0014-03

2011-03-03

2010年常州大學教育教學研究立項課題(GJY10020035)

郭淑娟(1964-)，女，副教授，博士，從事研究方向:微分動力系統、數學教育