系統數學模型的實驗求法*

何曉紅

衢州廣播電視大學 浙江衢州 324000

系統數學模型的實驗求法*

何曉紅

衢州廣播電視大學 浙江衢州 324000

實驗教學是控制理論課的重要環節，盡管現在有各種各樣先進的教學手段、仿真實驗軟件，但實驗教學不可以完全脫離硬件實驗，不能重“軟”輕“硬”，而應“軟”“硬”兼顧，這樣對學生科研能力的培養才會有事半功倍的效果。提出一種新的控制理論實驗，并詳細介紹其實現的全過程，對提高學生學習控制理論的興趣，增強學生的動手創新能力進行有益的嘗試。

控制理論實驗；傳遞函數；頻率特性法；創新能力

1 前言

在實際控制系統的研究中，多數都要知道其數學模型，比如它的微分方程、狀態空間方程等。教科書中是利用物理定理來推導實際系統模型。例如，對一個機電系統而言，它的運行受機械定律（牛頓定律）和電子定律（基爾霍夫等定律）控制，可以根據物理定律來推導出其數學模型。但這些數學模型都是純理論的推導，大多數學生對其物理意義沒有認識，導致他們覺得控制理論抽象、難學、難懂，學了也沒法用，而且目前全國各高校對此內容都沒有實驗來加深對其理解，因此有必要將此內容作為選作實驗，以補充理論課的不足。

2 實驗闡述

2.1 實驗目的

掌握頻率特性法的原理，結合一具體系統，采用實驗的方法來直接推導其數學模型。

2.2 實驗原理及其過程

用實驗的方法，求取系統傳遞函數，一般是對系統施加一定的輸入信號（正弦信號、脈沖信號、方波信號等），測出系統的輸出信號，借助計算機進行數據處理，從而獲取系統的傳遞函數。頻率特性法的優點在于，它可以通過簡單的頻率響應實驗，確定被控對象的傳遞函數。頻率特性能較準確地反映被測系統的動態特性，這是因為測試頻率特性時，被測系統施加一種穩態正弦信號，系統處在穩態。因此，外來隨機干擾對測試結果的影響比測試時域響應時小得多。此外，對于最小相位系統，在未知系統的傳遞函數的情況下，在感興趣的頻率范圍內足夠多的頻率上測量出幅值比和相位移，就可以據此畫出波德圖。利用漸近線可以確定傳遞函數。作出的漸近對數幅值曲線由若干線段組成。通過對轉角頻率的一些試探處理，通常可以求出很滿意的漸近曲線，即可求出具有一定精度的傳遞函數。

采用輸入輸出曲線直接記錄法，其測試框圖如圖1所示。正弦信號發生器每固定一個角頻率ω，待輸出穩定后，即可以在雙線示波器上獲得一組輸入輸出曲線。其中輸出曲線常夾雜干擾，但是峰值比還是容易確定的。測量幅頻特性時，一般為了讀取方便，輸入和輸出的幅值均取其峰值。另外，幅值的精確測量比相移的精確測量容易。

實驗系統是一模型汽車，其主要部件有機構、直流驅動電機、傳感器、8098單片機、功率放大器等。

對實驗系統（模型汽車）而言，具有線性和不隨時間變化的特性。提出線性常系數微分方程形式的系統模型是合理的。等價地，它可用傳遞函數P(s)的形式給出：

圖1 系統數學模型測試圖

?

其中：a、b、k為待定的未知系數，x(t)是模型汽車相應的位置，v(t)是直流電機上的電壓。

運用頻率響應的方法，獲得表1。

其中輸入信號為幅值為5v、角頻率為ωi（1≤i≤17）的正弦信號。根據表1實驗數據作出波德圖，如圖2所示。據此可得傳遞函數模型的結構為：P(s)＝kss+a。

圖2 模型汽車實驗數據的波德圖

通過實驗和誤差校正，確定適合于實驗數據的k和a的數值。選擇k=50，a=3.8。

圖3是包含所有頻率下20log(∣P(jω)∣)相對ω的曲線（點劃線），它和相應的實驗數據（實線）相重合。

圖3 實驗數據和系統模型

上述構造系統模型的方法和教科書中看到的完全不同，因為在這個過程中，沒有為獲得模型而寫下任何物理定律，當然，系統在運行時要遵循這些定律。顯然，這個模型是近似的，但如果利用直接基于物理定律的方法時，同樣也需要近似的。（注意：這里在獲取模型汽車的傳遞函數時，為了突出頻率響應的實驗方法，未考慮直流電機有死區。）

模型汽車的線性傳遞函數：P(s)=50/s(s+3.8)。

相應的線性微分方程模型：

2.3 實驗注意事項

1）由于被測系統具有某些非線性因素，必須適當選擇輸入正弦信號的幅度。如果輸入信號太大，會引出輸出信號飽和；輸入信號太小，也會由于死區而引入誤差。這可通過檢查輸出信號是否接近正弦波形來考慮輸入信號的大小。

2）用來測量系統輸出的測量設備的頻率響應，應當具有比較平坦的幅頻曲線。

3）須提供適當的正弦信號發生器，對于大時間常數系統，實驗時所需要的頻率范圍約為0.001~10 Hz；對于小時間常數系統，約為0.1~1 000 Hz。正弦信號必須沒有諧波或波形畸變。

4）在畫波德圖時對所用的頻率以周/秒而不是弧度/秒為單位，在計算時間常數之前，必須將轉角頻率的單位轉化為弧度/秒。

3 結束語

控制理論課是一門理論性很強的課程，盡管現在有各種各樣先進的教學手段、仿真實驗軟件，但實驗教學不可以完全脫離硬件實驗，不能重“軟”輕“硬”，而應“軟”“硬”兼顧，這樣才會有事半功倍的效果。頻率響應實驗法獲取實際系統傳遞函數，既加深對課程內容的理解，同時是理論聯系實際的一次良好實踐，促使控制理論實驗由單一型、驗證型向綜合型、設計型轉變，增加學生學習控制理論的興趣，增強學生的動手創新能力。

[1]曹錦芳.控制理論實驗[M].杭州:浙江大學出版社,1993

[2]特費斯.自動控制反饋的力量:使用MATLAB[M].曹秉剛,白志峰,譯.西安:西安交通大學出版社,2002

[3]Ogata.現代控制工程[M].3版.盧伯英,于海勛,等,譯.北京:電子工業出版社,2000:528-531

Automatic control theory is an engineering discipline which lays emphasis on theory.Experiment is an important practical teaching joint in the cultivation of qualified personnel.This paper introduced a new kind of experiment for control theory in detail.

control theory experiment; transfer function; frequency responses; innovation ability

G424.31

B

1671-489X(2011)21-0118-02

10.3969 /j.issn.1671-489X.2011.21.118

Experimental Solve about System Transfer Function//He Xiaohong

Author’s address Quzhou TV University, Quzhou, Zhejiang, China 324000

*2009年度衢州市科技計劃項目（立項號：20091112）。

作者：何曉紅，中學高級，主要從事數控、機電及其自動控制專業數學教學。