系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的實(shí)驗(yàn)求法*

何曉紅

衢州廣播電視大學(xué) 浙江衢州 324000

系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的實(shí)驗(yàn)求法*

何曉紅

衢州廣播電視大學(xué) 浙江衢州 324000

實(shí)驗(yàn)教學(xué)是控制理論課的重要環(huán)節(jié)，盡管現(xiàn)在有各種各樣先進(jìn)的教學(xué)手段、仿真實(shí)驗(yàn)軟件，但實(shí)驗(yàn)教學(xué)不可以完全脫離硬件實(shí)驗(yàn)，不能重“軟”輕“硬”，而應(yīng)“軟”“硬”兼顧，這樣對(duì)學(xué)生科研能力的培養(yǎng)才會(huì)有事半功倍的效果。提出一種新的控制理論實(shí)驗(yàn)，并詳細(xì)介紹其實(shí)現(xiàn)的全過程，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)控制理論的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手創(chuàng)新能力進(jìn)行有益的嘗試。

控制理論實(shí)驗(yàn)；傳遞函數(shù)；頻率特性法；創(chuàng)新能力

1 前言

在實(shí)際控制系統(tǒng)的研究中，多數(shù)都要知道其數(shù)學(xué)模型，比如它的微分方程、狀態(tài)空間方程等。教科書中是利用物理定理來推導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)模型。例如，對(duì)一個(gè)機(jī)電系統(tǒng)而言，它的運(yùn)行受機(jī)械定律（牛頓定律）和電子定律（基爾霍夫等定律）控制，可以根據(jù)物理定律來推導(dǎo)出其數(shù)學(xué)模型。但這些數(shù)學(xué)模型都是純理論的推導(dǎo)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)其物理意義沒有認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致他們覺得控制理論抽象、難學(xué)、難懂，學(xué)了也沒法用，而且目前全國(guó)各高校對(duì)此內(nèi)容都沒有實(shí)驗(yàn)來加深對(duì)其理解，因此有必要將此內(nèi)容作為選作實(shí)驗(yàn)，以補(bǔ)充理論課的不足。

2 實(shí)驗(yàn)闡述

2.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

掌握頻率特性法的原理，結(jié)合一具體系統(tǒng)，采用實(shí)驗(yàn)的方法來直接推導(dǎo)其數(shù)學(xué)模型。

2.2 實(shí)驗(yàn)原理及其過程

用實(shí)驗(yàn)的方法，求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)，一般是對(duì)系統(tǒng)施加一定的輸入信號(hào)（正弦信號(hào)、脈沖信號(hào)、方波信號(hào)等），測(cè)出系統(tǒng)的輸出信號(hào)，借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，從而獲取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。頻率特性法的優(yōu)點(diǎn)在于，它可以通過簡(jiǎn)單的頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，確定被控對(duì)象的傳遞函數(shù)。頻率特性能較準(zhǔn)確地反映被測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，這是因?yàn)闇y(cè)試頻率特性時(shí)，被測(cè)系統(tǒng)施加一種穩(wěn)態(tài)正弦信號(hào)，系統(tǒng)處在穩(wěn)態(tài)。因此，外來隨機(jī)干擾對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響比測(cè)試時(shí)域響應(yīng)時(shí)小得多。此外，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，在未知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的情況下，在感興趣的頻率范圍內(nèi)足夠多的頻率上測(cè)量出幅值比和相位移，就可以據(jù)此畫出波德圖。利用漸近線可以確定傳遞函數(shù)。作出的漸近對(duì)數(shù)幅值曲線由若干線段組成。通過對(duì)轉(zhuǎn)角頻率的一些試探處理，通常可以求出很滿意的漸近曲線，即可求出具有一定精度的傳遞函數(shù)。

采用輸入輸出曲線直接記錄法，其測(cè)試框圖如圖1所示。正弦信號(hào)發(fā)生器每固定一個(gè)角頻率ω，待輸出穩(wěn)定后，即可以在雙線示波器上獲得一組輸入輸出曲線。其中輸出曲線常夾雜干擾，但是峰值比還是容易確定的。測(cè)量幅頻特性時(shí)，一般為了讀取方便，輸入和輸出的幅值均取其峰值。另外，幅值的精確測(cè)量比相移的精確測(cè)量容易。

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)是一模型汽車，其主要部件有機(jī)構(gòu)、直流驅(qū)動(dòng)電機(jī)、傳感器、8098單片機(jī)、功率放大器等。

對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)（模型汽車）而言，具有線性和不隨時(shí)間變化的特性。提出線性常系數(shù)微分方程形式的系統(tǒng)模型是合理的。等價(jià)地，它可用傳遞函數(shù)P(s)的形式給出：

圖1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型測(cè)試圖

?

其中：a、b、k為待定的未知系數(shù)，x(t)是模型汽車相應(yīng)的位置，v(t)是直流電機(jī)上的電壓。

運(yùn)用頻率響應(yīng)的方法，獲得表1。

其中輸入信號(hào)為幅值為5v、角頻率為ωi（1≤i≤17）的正弦信號(hào)。根據(jù)表1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出波德圖，如圖2所示。據(jù)此可得傳遞函數(shù)模型的結(jié)構(gòu)為：P(s)＝kss+a。

圖2 模型汽車實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的波德圖

通過實(shí)驗(yàn)和誤差校正，確定適合于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的k和a的數(shù)值。選擇k=50，a=3.8。

圖3是包含所有頻率下20log(∣P(jω)∣)相對(duì)ω的曲線（點(diǎn)劃線），它和相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（實(shí)線）相重合。

圖3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和系統(tǒng)模型

上述構(gòu)造系統(tǒng)模型的方法和教科書中看到的完全不同，因?yàn)樵谶@個(gè)過程中，沒有為獲得模型而寫下任何物理定律，當(dāng)然，系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí)要遵循這些定律。顯然，這個(gè)模型是近似的，但如果利用直接基于物理定律的方法時(shí)，同樣也需要近似的。（注意：這里在獲取模型汽車的傳遞函數(shù)時(shí)，為了突出頻率響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)方法，未考慮直流電機(jī)有死區(qū)。）

模型汽車的線性傳遞函數(shù)：P(s)=50/s(s+3.8)。

相應(yīng)的線性微分方程模型：

2.3 實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)

1）由于被測(cè)系統(tǒng)具有某些非線性因素，必須適當(dāng)選擇輸入正弦信號(hào)的幅度。如果輸入信號(hào)太大，會(huì)引出輸出信號(hào)飽和；輸入信號(hào)太小，也會(huì)由于死區(qū)而引入誤差。這可通過檢查輸出信號(hào)是否接近正弦波形來考慮輸入信號(hào)的大小。

2）用來測(cè)量系統(tǒng)輸出的測(cè)量設(shè)備的頻率響應(yīng)，應(yīng)當(dāng)具有比較平坦的幅頻曲線。

3）須提供適當(dāng)?shù)恼倚盘?hào)發(fā)生器，對(duì)于大時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)時(shí)所需要的頻率范圍約為0.001~10 Hz；對(duì)于小時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)，約為0.1~1 000 Hz。正弦信號(hào)必須沒有諧波或波形畸變。

4）在畫波德圖時(shí)對(duì)所用的頻率以周/秒而不是弧度/秒為單位，在計(jì)算時(shí)間常數(shù)之前，必須將轉(zhuǎn)角頻率的單位轉(zhuǎn)化為弧度/秒。

3 結(jié)束語

控制理論課是一門理論性很強(qiáng)的課程，盡管現(xiàn)在有各種各樣先進(jìn)的教學(xué)手段、仿真實(shí)驗(yàn)軟件，但實(shí)驗(yàn)教學(xué)不可以完全脫離硬件實(shí)驗(yàn)，不能重“軟”輕“硬”，而應(yīng)“軟”“硬”兼顧，這樣才會(huì)有事半功倍的效果。頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)法獲取實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)，既加深對(duì)課程內(nèi)容的理解，同時(shí)是理論聯(lián)系實(shí)際的一次良好實(shí)踐，促使控制理論實(shí)驗(yàn)由單一型、驗(yàn)證型向綜合型、設(shè)計(jì)型轉(zhuǎn)變，增加學(xué)生學(xué)習(xí)控制理論的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手創(chuàng)新能力。

[1]曹錦芳.控制理論實(shí)驗(yàn)[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,1993

[2]特費(fèi)斯.自動(dòng)控制反饋的力量:使用MATLAB[M].曹秉剛,白志峰,譯.西安:西安交通大學(xué)出版社,2002

[3]Ogata.現(xiàn)代控制工程[M].3版.盧伯英,于海勛,等,譯.北京:電子工業(yè)出版社,2000:528-531

Automatic control theory is an engineering discipline which lays emphasis on theory.Experiment is an important practical teaching joint in the cultivation of qualified personnel.This paper introduced a new kind of experiment for control theory in detail.

control theory experiment; transfer function; frequency responses; innovation ability

G424.31

B

1671-489X(2011)21-0118-02

10.3969 /j.issn.1671-489X.2011.21.118

Experimental Solve about System Transfer Function//He Xiaohong

Author’s address Quzhou TV University, Quzhou, Zhejiang, China 324000

*2009年度衢州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（立項(xiàng)號(hào)：20091112）。

作者：何曉紅，中學(xué)高級(jí)，主要從事數(shù)控、機(jī)電及其自動(dòng)控制專業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)。