有界模糊數(shù)的比較與排序

高德寶

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué) 文理學(xué)院，黑龍江 大慶 163319）

在用模糊數(shù)及模糊關(guān)系構(gòu)建的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型中，對于可行域上的任一點，通過模糊關(guān)系運算得到的目標(biāo)值均是模糊數(shù)。這樣就存在哪個模糊數(shù)較優(yōu)的問題，依據(jù)模糊數(shù)的優(yōu)劣程度進(jìn)行比較或排序的問題稱之為模糊數(shù)的排序問題。在模糊優(yōu)化與決策中，模糊數(shù)的比較與排序問題是基本問題。迄今為止，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了多種方法[1-6]。但沒有一種方法能得到普及，它們均各有優(yōu)缺點，各有適用范圍。

定義 1[7]設(shè)A是實數(shù)域R上的正規(guī)模糊集，且對?λ∈ [0,1]，Aλ均為一閉區(qū)間，則稱A為一個模糊數(shù)。若?λ∈ (0,1]，Aλ有界，則稱A為有界模糊數(shù)。

定理 1[7]A為有界模糊數(shù)的充分必要條件是存在閉區(qū)間[al,ar]，使得

其中L(x)為增函數(shù)，右連續(xù)，0 ≤L(x ) ＜ 1，且R (x)為減函數(shù)，左連續(xù)， 0≤R(x)＜ 1，且

易知L(x)與R(x)均有逆函數(shù)，設(shè)其分別為L-1(x)，R-1(x)，則L-1(x)，R-1(x)仍是右，左連續(xù)且仍是增函數(shù)與減函數(shù)。

本文所涉及的模糊數(shù) Ai(i = 1,2, … ,n)的隸屬函數(shù)為：

1 模糊數(shù)的排序方法

定義2[8]設(shè)E是一個非空集， xy∈E?, ，給定一個實數(shù)ρ(x,y)與之對應(yīng)，若ρ(x,y)滿足如下條件：

（1） ρ( x,y) ≥0，且 ρ( x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

（2） ρ( x, y)= ρ(y,x)；

（3） ρ(x,y)≤ ρ(x,z)+ρ(z,y),( z∈E)。

則稱ρ(x,y)是兩點x,y之間的距離。

定義3對任意的模糊數(shù) A1,A2，稱

為模糊數(shù) A1與A2之間的距離。

易知定義3滿足定義2中的所有條件。

距離的幾何意義：如圖 1所示， A1,A2的距離是指在A( x)=1與A(x)=0之間，L1(x)，L2(x)所圍面積的p次冪與 R1(x)，R2(x)所圍面積的p次冪之和的平均值之后開p次方。當(dāng) A1,A2為實數(shù)時，即它等同于實數(shù)的距離公式。

圖1 A1與A2之間的距離

定義4[2]設(shè)A為一模糊數(shù)，若x＜0時，A(x)=0，則稱A是正模糊數(shù)；若x＞0時，A(x)=0，則稱A為負(fù)模糊數(shù)；若存在 x1x2＜ 0，使得 A(x1)A( x2) ＞0，則稱A是變號模糊數(shù)。

定義 5若A為正模糊數(shù)，稱 wA= d(A,0)為A的排序指標(biāo)；若A為負(fù)模糊數(shù)，稱 wA=- d(A,0)為A的排序指標(biāo)；若0∈ (a1,a4)，取 A= Al∨ Ar，其中

定義6若 wA1＜ wA2，記作A1＜ A2，讀作A1小于A2；若wA1= wA2，記作 A1=A2，讀作A1等于A2。

若要對若干個有界模糊數(shù) Ai(i = 1,2,… ) 進(jìn)行排序，需先算出對應(yīng)的 d(Ai,0)(i = 1,2,… ) ，然后再根據(jù)對應(yīng)的wAi的大小對 Ai進(jìn)行排序。

2 排序效果分析

定理1設(shè) A1,A2為兩個LR模糊數(shù)。，則有 A1≤A2。

證明分三種情形。

（1）A1(x)，A2(x)均為正模糊數(shù)

由于A1(x)，A2(x)均為凸函數(shù)，所以當(dāng)時有

故A1≤A2。

（2） A1,A2均為負(fù)模糊數(shù)

綜上所述，原命題成立。

特別地，當(dāng)A1為實數(shù)或A2為實數(shù)，仍有 A1≤A2。

推論若A2為正模糊數(shù)，則 A1≤ A1+ A2；若A2為負(fù)模糊數(shù)，則 A1+ A2≤ A1。

這些結(jié)果與人們的直覺是相符的并且不悖逆于實數(shù)的自然序關(guān)系。在一定程度上說明了此排序方法的有效性。

本文的排序方法具有以下幾方面的合理性：

性質(zhì) 1對任意的有界模糊數(shù)A1與A2， A1≤A2與A2≤ A1至少有一個成立。

性質(zhì)2對任意的有界模糊數(shù)若，則A1≤A2。

性質(zhì)3對任意的A1(x)，A2(x)，A3(x)，若 A1≤ A2且A2≤ A3，則 A1≤ A3。

性質(zhì) 4若在集合{ A1, A2}上有 A1≤ A2，則在集合{A1,A2,A3}上也有 A1≤A2。

性質(zhì)5對任意的A1(x)，A2(x)，若有 A1≤ A2，則當(dāng)r為正實數(shù)時，有 rA1≤ rA2。

證明性質(zhì)1~4由序的定義易知，下證性質(zhì)5。

由定義3知，d (r A,0)= rd(A,0)。從而可知 wrA1=rwA1，wrA2=rwA2。由 A1≤ A2知， wA1≤ wA2。

故rwA1≤ rwA2，從而 rA1≤ rA2。

3 實例分析

下面我們對具有代表性的五組模糊數(shù)的排序問題[8]進(jìn)行分析，圖 2(a)~圖 2(e)分別對這五組具有代表性的模糊數(shù)進(jìn)行了描述。

在定義3中，我們僅取p=2時。

對于圖 2(a)中所示的三個模糊數(shù) A1=(0.4,0.5,0.5,1)，A2=(0.4,0.7,0.7,1)， A3=(0.4,0.9,0.9,1)，易知 A1,A2,A3的支撐區(qū)間都相同且它們的峰值區(qū)間都為一個點，故其峰值區(qū)間越靠右表示的數(shù)值越大，即 A1＜ A2＜ A3。用本文方法可得：

wA1= 0.6185， wA2= 0.7159， wA3= 0.8139。由此可得： A1＜ A2＜ A3。

對于圖2(b)中所示的兩個模糊數(shù) A1= （0. 2,0.5,0.5,0.8） ，A2= （0.4,0.5,0.5,0.6）易知A1與A2的峰值區(qū)間相同，故其支撐區(qū)間越小越精確，即 A2＜ A1。用本文方法可得：

由此可得： A2＜ A1。

圖2 五組模糊數(shù)的排序問題

對于圖 2(c)所示的三個模糊數(shù) A1= (0.5,0.7,0.7,0.9)，A2= (0.3,0.4,0,7,0.9)， A3=(0.3,0.4,0,7,0.9)，易知A1與A2的峰值區(qū)間相同，故其支撐區(qū)間越小越精確。即 A2＜ A1。根據(jù)性質(zhì)4，待序范圍擴大后，也應(yīng)有 A2＜ A1。A2與A3的支撐區(qū)間相同，峰值區(qū)間越往右越大，故 A2＜ A3。用本文方法可得

由此可得： A3＜ A2＜ A1。

對于圖 2(d)中的三個模糊數(shù) A1= (0.3,0.5,0.8,0.9)，A2=(0.3,0.5,0.5,0.9)與A3=(0.3,0.5,0.5,0.7)，易知A1與A2的支撐區(qū)間相同，峰值區(qū)間越往右越大，即 A2＜ A1。根據(jù)性質(zhì)4，待序范圍擴大后，也應(yīng)有 A2＜ A1，且A2與A3的峰值區(qū)間相同都為同一個點，故支撐區(qū)間越大越精確。即A3＜ A2，所以 A3＜ A2＜ A1。用本文方法可得

由此可得： A3＜ A2＜ A1。

對于圖 2(e)中的兩個模糊數(shù) A1= (0.3,0.3,0.3,1)，A2= (0.1,0.7,0.7,0.8)，僅僅從對數(shù)值描述的精確程度方面看，兩者是相同的，且由 [0 .1,0.8]＜ [0.3,1]可得 A.1＞ A2；另一方面，由于 A1的支撐區(qū)間小于A2的支撐區(qū)間，故有A1＜A2。綜合兩方面考慮就很難確定兩者的優(yōu)越程度，用本文方法可得

雖然能得出 A1＜A2，但我們也能看到 wA1與 wA2相差無幾，這符合上面的分析結(jié)果。

4 結(jié)論

給出了度量模糊數(shù)間距離的一種新方法的基礎(chǔ)上，提出了模糊數(shù)的排序指標(biāo)，進(jìn)而能夠確定模糊數(shù)之間的序關(guān)系。文中從理論分析與實例分析兩個方面說明排序方法的效性與實際可行性。