ARMA模型的頻譜分析檢驗(yàn)法

李培梁，單 銳

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

ARMA模型的頻譜分析檢驗(yàn)法

李培梁，單 銳

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

文章將窗譜估計(jì)的技術(shù)應(yīng)用于時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)，以解決模型構(gòu)建的正確性和參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證比較的方法進(jìn)行研究，對(duì)同一時(shí)間序列模型分別利用混合的擬合不足檢驗(yàn)與本文所提的頻譜分析模型檢驗(yàn)法對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，即使模型在5%的置信水平下通過(guò)了Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，但模型的設(shè)定仍然有可能存在錯(cuò)誤，無(wú)法通過(guò)頻譜分析模型檢驗(yàn)。表明頻譜分析模型檢驗(yàn)法相對(duì)于時(shí)間序列模型構(gòu)建中廣泛使用的Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)法，在時(shí)間序列模型設(shè)定的正確性檢驗(yàn)方面具有更強(qiáng)的模型檢驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

時(shí)間序列；譜估計(jì)；ARMA模型；模型檢驗(yàn)

0 引言

時(shí)間序列模型的建立是一個(gè)反復(fù)的過(guò)程，每次反復(fù)都需要模型檢驗(yàn)對(duì)模型設(shè)定的正確性和模型中參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn)。時(shí)間序列模型檢驗(yàn)最常用的方法是殘差分析法，它用來(lái)檢驗(yàn)由擬合模型所得殘差的行為是否像白噪聲過(guò)程。殘差分析法有許多可用的檢驗(yàn)方法，如：Fisher檢驗(yàn)，廣義似然比檢驗(yàn)，自適應(yīng)Neyman檢驗(yàn)，χ2檢驗(yàn)，和Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)等，其中Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)最被推崇使用。它最初是由Box和Pierce(1970)提出的，盡管殘差分析法具有很強(qiáng)的模型檢驗(yàn)?zāi)芰?，但它存在兩方面的局限性，一是，殘差分析法用于檢驗(yàn)過(guò)度擬合的功效通常不高。二是，計(jì)算量非常大有時(shí)還需要計(jì)算非參數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

本文的主要目的是將頻譜分析引入到時(shí)間序列ARMA模型的正確性設(shè)定的檢驗(yàn)研究中。

1 基于頻譜分析的ARM A模型檢驗(yàn)方法

用頻譜分析法對(duì)時(shí)間序列ARMA模型進(jìn)行檢驗(yàn)就是比較實(shí)際樣本的譜密度與ARMA模型生成的譜密度的一致性，所以用頻譜分析法驗(yàn)證模型首先得估計(jì)時(shí)間序列樣本的功率譜和模型生成的功率譜，然后根據(jù)兩者功率譜的異同來(lái)判斷模型設(shè)定是否正確。

1.1 樣本譜估計(jì)

設(shè)Zt是實(shí)值平穩(wěn)過(guò)程，其自協(xié)方差函數(shù)rk為絕對(duì)可和，則時(shí)間序列Zt的譜為

其中-π≤ω≤π。

實(shí)際中往往不可能給出全部Zt序列，那么我們可以用樣本自協(xié)方差r贊k代替理論上的方差rk以估計(jì)f(ω)。然后對(duì)于一個(gè)給定的n樣本時(shí)間序列，我們只能計(jì)算r贊k其中k=0,1,2,…,(n-1)，因此，估計(jì) f(ω)只能用

所以我們可由(2)式得到樣本譜(1)式的估計(jì)。

1.2 ARMA模型的譜估計(jì)

對(duì)于給定的時(shí)間序列Z1,Z2,…,Zn，為了近似未知的基本過(guò)程，我們可以用一個(gè)ARMA(p,q)模型去近似未知過(guò)程，其中ARMA(p,q)模型如下：

其中 E(Zt)=μ,準(zhǔn)p(B)=(1-準(zhǔn)1B-…-準(zhǔn)pBp)和 θq(B)=(1-θ1B-…-θqBq)，B 為向后推移算子，即 BpZt=Zt-p，Bqat=at-q。 ARMA(p,q)模型的自協(xié)方差生成函數(shù)為：

其中σa2為at的方差。平穩(wěn)ARMA(p,q)模型的譜為

則ARMA(p,q)模型的譜可以用下式估計(jì)

③推薦腸內(nèi)營(yíng)養(yǎng)，包括高碳水化合物、低脂、適量蛋白飲食。肝性腦病患者詳見(jiàn)“肝性腦病”部分。進(jìn)食不足者，每日靜脈補(bǔ)給熱量、液體、維生素及微量元素（Ⅲ），推薦夜間加餐補(bǔ)充能量。

1.3 模型檢驗(yàn)

基于譜密度函數(shù)的ARMA模型的檢驗(yàn)基于這樣的設(shè)想，即如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程具有相同的概率分布，那么他們具有相同的頻譜特性，即ARMA模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合良好，模型有效。他最早用于導(dǎo)彈仿真系統(tǒng)的模型檢驗(yàn)。

設(shè) fx與 fy(贊)分別表示樣本功率譜密度估計(jì)與 ARMA模型功率譜密度估計(jì)。根據(jù)如果ARMA模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合較好，則兩者必然有相同的頻譜特性，模型設(shè)定正確與否通過(guò)如下假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，

H0fx(ω)=fy(ω)

H1fx(ω)≠fy(ω)

由窗譜估計(jì)的性質(zhì)有

其中v稱為平滑譜的等價(jià)自由度。我們令fx(ω)與fy(ω)的譜商函數(shù)為Q=，其估計(jì)值為，則由(4)式知xy

若零假設(shè)成立(5)式可以簡(jiǎn)化為

按照(7)式對(duì)每一個(gè)頻點(diǎn)ω進(jìn)行檢驗(yàn)，若每個(gè)頻點(diǎn)對(duì)(7)式成立則，可以認(rèn)為在顯著水平a，時(shí)間序列模型建立是成功的，即模型通過(guò)驗(yàn)證。

2 實(shí)例驗(yàn)證

通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證研究來(lái)表明頻譜分析模型驗(yàn)證法在時(shí)間序列模型設(shè)定的正確性檢驗(yàn)方面有著重要的作用。首先采用Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)ARMA模型檢驗(yàn)，然后使用頻譜分析方法進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果顯示頻譜分析法具有更強(qiáng)的模型驗(yàn)證能力。

我們對(duì)1857——1911年間加拿大Hudson’s Bay灣公司出售山貓皮的年度數(shù)據(jù)進(jìn)行ARMA模型建模。ARMA模型結(jié)構(gòu)如(3)式所示。

運(yùn)用AIC模型信息準(zhǔn)則對(duì)ARMA模型進(jìn)行定階。得到 p=2,q=1，ARMA(2,1)

模型結(jié)構(gòu)如下：

準(zhǔn)2(B)Zt=θ1(B)at

其 中 準(zhǔn)2(B)=(1-準(zhǔn)1B-準(zhǔn)2B2)和 θ1(B)=(1-θ1B)

運(yùn)用極大似然函數(shù)估計(jì)法對(duì)模型中參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到模型如下式：

(1-1.55B+0.94B2)=(1-0.59B)at

可見(jiàn)式中參數(shù)顯著不為0。利用Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)ARMA(2,1)模型進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如表1。由表1可知Q統(tǒng)計(jì)量都顯著，說(shuō)明模型ARMA(2,1)擬合良好。

表1 對(duì)出售山貓皮的年度數(shù)據(jù)序列擬合ARMA（2,1）模型的殘差自相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)

進(jìn)一步使用頻譜分析法對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證。由前面所提到的樣本譜與ARMA模型譜估計(jì)原理，分別估計(jì)得到樣本譜密度函數(shù)fx(ω)與ARMA模型譜密度函數(shù)fy(ω)。

由頻譜分析法知，在α=0.05的置信水平下所考察的頻帶內(nèi)置信上限和下限沒(méi)有全部包含“1”，如圖1所示。

圖1 α=0.05時(shí)的聯(lián)合置信曲線

因此ARMA(2,1)模型盡管通過(guò)了Q統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)，但該模型未能通過(guò)頻譜分析驗(yàn)證，模型設(shè)定的正確性被否定?？梢?jiàn)頻譜分析法可以揭示殘差分析檢驗(yàn)法無(wú)法揭示的內(nèi)容。從而說(shuō)明頻譜分析法是一種精確有效的模型驗(yàn)證工具。

3 結(jié)論

本文在樣本譜估計(jì)與ARMA模型譜估計(jì)的基礎(chǔ)上提出一種新的模型驗(yàn)證方法。并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證表明，頻譜分析法相對(duì)于時(shí)間序列模型檢驗(yàn)中廣泛使用的殘差分析檢驗(yàn)法，在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼_性方面具有更強(qiáng)的檢驗(yàn)?zāi)芰?。從而說(shuō)明頻譜分析法的提出對(duì)時(shí)間序列模型的驗(yàn)證有著重大意義。

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O21

A

1002－6487（2011）04－0155-02

李培梁（1983-），男，山西汾陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向：譜分析在時(shí)間序列中的應(yīng)用。

（責(zé)任編輯/易永生）