壽命產(chǎn)品可靠度的貝葉斯估計(jì)

徐 寶

(1.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所，長(zhǎng)春 130012)

壽命產(chǎn)品可靠度的貝葉斯估計(jì)

徐 寶1，2

(1.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所，長(zhǎng)春 130012)

在與信息論中的熵函數(shù)有關(guān)的一種新的加權(quán)對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下，用參數(shù)估計(jì)方法研究了壽命服從幾何分布的產(chǎn)品可靠度的估計(jì)問(wèn)題。得到了可靠度的貝葉斯估計(jì)的一般形式與精確形式并討論了貝葉斯估計(jì)的可容許性。最后研究了可靠度的多層貝葉斯估計(jì)，數(shù)值算例表明研究結(jié)果能為實(shí)際生產(chǎn)提供穩(wěn)健性較高的估計(jì)形式。

可靠度；貝葉斯估計(jì)；多層貝葉斯估計(jì)；穩(wěn)健性

1 問(wèn)題的提出

在現(xiàn)代實(shí)際生產(chǎn)中，許多產(chǎn)品都要求有很高的可靠性指標(biāo)，因此必須對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠性測(cè)試。若對(duì)產(chǎn)品的測(cè)試手段是成敗型試驗(yàn)(如脈沖、振蕩等沖擊試驗(yàn))，則其壽命是以成敗次數(shù)來(lái)衡量的。在測(cè)試產(chǎn)品的壽命的研究中幾何分布起著重要的作用。因此，對(duì)幾何分布的可靠性分析具有理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在貝努里試驗(yàn)中，令θ為每次試驗(yàn)成功的概率(也稱其為可靠度)，若進(jìn)行了x+1次試驗(yàn)，前x次成功而第x+1次失敗的概率為 P(X=x)=θx(1-θ),0<θ<1,x=0,1,2,…，則稱隨機(jī)變量X服從幾何分布G(θ)。幾何分布及其均值以及可靠度的貝葉斯估計(jì)問(wèn)題已得到廣泛研究[1-6]，本文在這些文獻(xiàn)使用的與信息論中的熵函數(shù)有關(guān)的幾種損失函數(shù)基礎(chǔ)之上，提出一種新的損失函數(shù)——加權(quán)p，q對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)

這里δ是待估參數(shù)θ的估計(jì)量。容易看出損失函數(shù)(1)關(guān)于待估參數(shù)與其估計(jì)量是p，q對(duì)稱的，也就是交換二者以及p，q的位置，不影響損失函數(shù)的形式。這個(gè)特性是熵?fù)p失函數(shù)所不具備的，而且當(dāng)p=q時(shí)，損失(1)具有與平方損失函數(shù)以及絕對(duì)損失函數(shù)一樣的對(duì)稱性。在這個(gè)損失函數(shù)下，本文研究幾何分布可靠度θ的貝葉斯估計(jì)和多層貝葉斯估計(jì)及其性質(zhì)。

2 可靠度θ的貝葉斯估計(jì)

這一部分在貝葉斯框架下，利用損失函數(shù)(1)來(lái)研究參數(shù)θ的估計(jì)及其性質(zhì)。下面定理給出參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)。

定理 2.1令 X～G(θ)，在損失函數(shù)(1)下，對(duì)任何先驗(yàn)分布，參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)為

證明：設(shè)δ(X)為參數(shù)θ的任一估計(jì)，在損失函數(shù)(1)下，δ(X) 對(duì)應(yīng)的貝 葉 斯 風(fēng) 險(xiǎn) 為 E[L(θ,δ)]=E{E[L(θ,δ)]|X}=E，上式左端E表示關(guān)于θ與樣本x的聯(lián)合分布取期望。欲求θ的貝葉斯解，只須關(guān)于δ極小化即可。易知(2)式是其唯一最小值點(diǎn)，從而得到θ的貝葉斯估計(jì)為(2)式。

下面考慮在給定先驗(yàn)分布π(θ)后，參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)精確形式及其性質(zhì)。

定理2.2若參數(shù)θ的先驗(yàn)為貝塔分布Beta(a,1)=aθa-1,a>0為超參數(shù)，則在損失函數(shù) (1)下θ的貝葉斯估計(jì)為δB(x)=，并且是θ的可容許估計(jì)。

證明:易知參數(shù) θ 的后驗(yàn)密度為 h(θ|X)∝θx+a-1(1-θ),于是有

從而 δB(x)=，并且是可容許的。若不然，假設(shè)存在另一個(gè)估計(jì) δ(x)優(yōu)于 δB(x)，則必有 δ(x)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)小于或等于δB(x)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)，即δ(x)也是一個(gè)貝葉斯估計(jì)，這與θ的貝葉斯估計(jì)唯一性矛盾，從而δ(x)=δB(x)， 故 δB(x)是可容許的。

3 可靠度θ的多層貝葉斯估計(jì)

注意到θ的貝葉斯估計(jì)的精確形式中含有超參數(shù)α，若對(duì)超參數(shù)再給出一個(gè)先驗(yàn)，稱之為超先驗(yàn)，由先驗(yàn)和超先驗(yàn)決定的一個(gè)新先驗(yàn)就稱為多層先驗(yàn)。本文應(yīng)用文[7]的結(jié)果，取超參數(shù) α 的先驗(yàn) π(a)為 U(1,c)，其中 2≤c≤6，則參數(shù) θ 的多層先驗(yàn)密度為

定理3.1在多層先驗(yàn)密度(3)下，幾何分布可靠度θ的多層貝葉斯估計(jì)為

從而θ的多層貝葉斯估計(jì)為(4)式。

4 說(shuō)明與討論

表1 p=q=1時(shí)產(chǎn)品可靠度的多層貝葉斯估計(jì)

表2 p=1/2,q=3/2時(shí)產(chǎn)品可靠度的多層貝葉斯估計(jì)

表3 p=3/2,q=1/2時(shí)產(chǎn)品可靠度的多層貝葉斯估計(jì)

本文在貝葉斯框架下使用加權(quán)p，q對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)研究了幾何分布可靠度的估計(jì)問(wèn)題，得到了與文[6]相似的估計(jì)形勢(shì)。由于文[6]已經(jīng)表明可靠度的多層貝葉斯估計(jì)穩(wěn)健，而本文所使用的損失函數(shù)又是文[6]所使用的q對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)的進(jìn)一步推廣形式，有兩個(gè)可供調(diào)整的常數(shù)p與q，因此能更容易得到預(yù)期的估計(jì)效果。下面應(yīng)用文[6]中的的數(shù)值例子給予說(shuō)明。

設(shè)對(duì)某壽命產(chǎn)品進(jìn)行了兩批試驗(yàn)，兩批試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果分別為x=19和x=30，對(duì) c(2≤c≤6)，給定 p，q的值來(lái)計(jì)算幾何分布可靠度的多層貝葉斯估計(jì)，限定p+q=2，分別計(jì)算了(1)p=q=1，(2)p=1/2，q=3/2，(3)p=3/2，q=1/2 三種情形下幾何分布可靠度的多層貝葉斯估計(jì)，結(jié)果由表1、表2、表3給出。

其中表1的結(jié)果與文[6]的結(jié)果一致。從上述三個(gè)表中可以看出隨著產(chǎn)品可靠性的提高，其可靠度的估計(jì)的極差越小，估計(jì)越穩(wěn)健，而且選擇合適的p，q值可以得到更穩(wěn)健的估計(jì)。

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O212.8

A

1002－6487（2011）04－0153-02

吉林省教育廳“十一五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2010);四平市科技發(fā)展計(jì)劃基金項(xiàng)目(2009016)

徐寶(1977-)，男，吉林四平人，博士研究生，講師，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)。

（責(zé)任編輯/易永生）