探究彈簧勁度系數的影響因素

陳學志 羅 瑩

北京師范大學 北京 100875

探究彈簧勁度系數的影響因素

陳學志 羅 瑩

北京師范大學 北京 100875

在人教版《高中物理(必修)1》中關于彈簧勁度系數的引入是這樣敘述的：“彈簧彈力的大小F和彈簧伸長x(或壓縮)成正比，即：F=kx。”

式中的k為彈簧的勁度系數，單位是牛頓/米，單位符號N/m。生活中有時說彈簧“硬”，有的彈簧“軟”，指的就是它們的勁度系數不同。這個規律是英國科學家胡克發現的，叫做胡克定律。在高中物理課本中沒有對彈簧的勁度系數給出更多的解釋，這樣就使得中學生在學習高中物理時經常產生這樣的問題：若把一個勁度系數為k的彈簧均分為二段，每段彈簧的勁度系數如何變化，原來一樣，均為k？還是不同？彈簧的勁度系數由什么決定的？

在大學物理課程中關于彈簧勁度系數的講解也很少，例如：在趙凱華著的《新概念物理教程》、梁紹榮和管靖著的《基礎物理學》等大學物理教材中均沒有涉及勁度系數與哪些因素有關的問題。由于這是一個比較容易理解的問題，教師僅在課堂上一帶而過，所以在大學基礎物理課程的作業中仍然會出現兩個串聯彈簧的等效勁度系數等于兩個彈簧的勁度系數之和，這種不應該出現的錯誤。筆者力圖通過一系列簡單的實驗說明彈簧的勁度系數與哪些因素有關？幫助學生改變頭腦中關于勁度系數的前概念，建立正確、清晰彈簧勁度系數的概念。

一、實驗設計

生活中最常見的彈簧之一為圓柱形的彈簧，對于這種圓柱形的彈簧，影響彈簧的勁度系數的因素應包括原長、彈簧的半徑、制備彈簧所用的材料以及彈簧制造的工藝等。為了確定圓柱形彈簧的勁度系數與哪些因素有關，筆者采用控制變量的方法，分別選取4對彈簧(詳細情況見表1)作為測量對象，通過焦利氏秤(如圖1所示)分別測量它們的勁度系數。

表1 實驗的圓柱形彈簧樣品

圖1

二、實驗結果及其分析

對于表1中的彈簧，采用焦利氏秤測量彈簧的勁度系數的結果，見表2。

表2 測量的圓柱形彈簧的彈性系數

在表2中,對于第1對彈簧,它們的勁度系數分別為4.25N/m,4.21N/m,測量的不確定度均為0.07N/m。這說明當圓柱形彈簧的原長、直徑以及制備彈簧的材料性質相同時,彈簧的勁度系數在測量誤差的范圍內是相同的。第2對彈簧,兩個彈簧的原長不同,但其截面相同,其制備彈簧的材料性質相同。彈簧2的原長比彈簧2’約短一半,彈簧2的勁度系數(N/m)比彈簧2’的(N/m)大近似為1倍。第3對彈簧,兩個彈簧的原長相同,其制備彈簧的材料性質相同,但其直徑不相同。也就是說對于第3對彈簧,它們的圓柱形截面不同,表2中的數據顯示彈簧3的勁度系數比彈簧3’大,也就是直徑大的彈簧的勁度系數比直徑小的彈簧的勁度系數小。對于第4對彈簧,雖然它們的形狀、原長、直徑均相同,但是制備它們的材料不同,這也導致了它們的勁度系數差別很大。

上面的討論表明,彈簧的勁度系數與制備彈簧的材料性質有關。制備彈簧的材料形狀包括制造彈簧的金屬絲(截面的性質與大小)、金屬絲的材質等因素,這些因素對于彈簧的勁度系數有重要的影響。此外,彈簧的勁度系數與彈簧的形狀有關。對于實驗測量的圓柱形彈簧,彈簧的原長和其截面的直徑之間影響彈簧的彈性系數。表中的實驗數據顯示圓柱形彈簧的勁度系數與其原長、直徑均有關。原長越長,其勁度系數越小；直徑越大,其勁度系數越小。

通常來說，影響彈簧勁度系數的因素大體上可以分為兩類，一類為彈簧的形狀、大小等因素，例如：圓柱形(半徑、原長)、圓錐形(半徑、高)等因素；另一類是制備彈簧所用的材料形狀，如材料的彈性模量、剪切模量、彈簧絲等因素。簡單地可以概括為在彈性限度內，彈簧的勁度系數表示彈簧的一種屬性，其大小與彈簧的材料，彈簧絲的粗細，彈簧圈的直徑，彈簧的原長等因素有關。此外彈簧所出的環境溫度對于其勁度系數也有影響，這是由制備彈簧的材料性質所決定的。

在教學和生活中經常使用的圓柱形彈簧，通常是由細絲線密繞而成。對于這類彈簧，當彈簧原長遠大于其半徑，彈簧的半徑遠大于彈簧絲的半徑時，其勁度系數可以近似表示為

其中G為彈簧材料的剪切模量、r為彈簧絲半徑，n為有效圈數，R為彈簧的半徑。

有效圈數n與圓柱形彈簧的原長L的關系為L=2rn,因為這類彈簧是密繞而成的。將其代入上式得

由此可見，對于通常使用的圓柱形彈簧，其勁度系數與其原長成反比。表2中的第2對彈簧的測量結果證實了這個結論。依據這個結論，我們可以推算出如果將一個圓柱形的彈簧截成兩個原長相等的彈簧，那么得到的新彈簧的勁度系數比原來大還是小？答案應該新彈簧的勁度系數是比原來大，而且比原來彈簧的勁度系數大一倍，因為彈簧的原長變為了原來的1/2。

對于這個問題，也可以這樣理解。原彈簧可以看作兩個“相同的半彈簧”串接，設原來的彈簧勁度系數為k，這兩個半勁度系數為k1=k2=k’。當原彈簧受力變形時，每個“半彈簧”變形量為x，則整個彈簧變形為2x。則有彈簧受到的彈簧力為

如果把一根彈簧在其一半處折疊成一根雙股彈簧，則其彈簧的勁度系數為多少，等于原來的兩倍嗎？通過上面的推導可以得到這個彈簧的勁度系數為原來彈簧的4倍。

[1] 江昌龍.能量法求解彈簧的彈性系數[J].力學與實踐，2008，6

陳學志，大專，實驗師。羅瑩，博士，副教授。