第一類曲面積分計算法的兩種向量注記

張文彬

（南京理工大學 泰州科技學院，江蘇 泰州 225300）

第一類曲面積分計算法的兩種向量注記

張文彬

（南京理工大學 泰州科技學院，江蘇 泰州 225300）

本文利用微元法,從向量的角度,直觀地分析了第一類曲面積分的幾何意義，并給出了該類曲面積分計算公式的兩種注記.

曲面積分；第一類；向量；微元法；注記

第一類曲面積分計算法回顧:設積分曲面∑由函數z=z(x,y)給出,∑在xOy面上的投影區域為Dxy,函數z=z(x,y)在Dxy上有連續的偏導數,被積函數f(x,y,z)在∑上連續,則曲面積分存在且可轉化為二重積分

第一類的曲面積分計算本質上是一種以直代曲的想法,即以切平面代替曲面,這種替換是有很強的現實意義的.如果我們把曲面看成原函數的話,那么切平面可以看成原函數的微分,這和我們用微分方程去描述客觀實際的想法是一致的.例如我們可以通過一條魚的鱗片分布來描述一條魚的形態,是很直觀有效的.

下面我們給出上述轉化的兩種向量注記.為了方便說明,我們做如下假設:（1）點(x,y,z)為曲面∑上任一點,該點在xOy面上的投影為點(x,y);（2）(△S)∑為曲面∑上包含點(x,y,z)的很小一塊曲面(曲面面積也記成(△S)∑),假設(△S)∑的在 xOy面上的投影區域為(△S)∑(平面面積也記成(△S)∑);（3）Π為點(x,y,z)處的切平面,假設曲面△S的面積可有點(x,y,z)處的一小塊切平面(△S)Π代替(切平面面積也記成(△S)Π),即(△S)∑=(△S)Π.(圖 1)

圖1

圖2

圖3

第一種投影法的向量注記.由于曲面(△S)∑很小,(△S)xy為切平面(△S)Π在xOy面上的投影區域,所以有

其中θ為切平面Π與xOy面的夾角.

切平面Π的法向量為n1=(zx,zy,-1),xOy面n2=(0,0,1),由平面夾角的向量定義得

第二種向量注記利用切平面面積得到.根據偏導數的定義,我們得到點(x,y,z)處的兩個切向量分別為 α1=(△x,0,zx△x)和 α2=(0,△y,0,zy△y),因此點(x,y,z)處的切平面 Π,可有切向量α1和α2張成,根據向量積的幾何意義得

〔1〕同濟大學數學系.高等數學(下冊)（第六版）[M].高等教育出版社,2007：215-218.

〔2〕華羅庚.高等數學引論 (第三冊)[M].高等教育出版社,2009：225-248.

〔3〕戴爾.沃伯格.微積分(英文版,原書第八版)[M].機械工業出版社,2004：3.

〔4〕劉秀梅.一類問題下曲面積分的注釋[J].高等數學研究,2006,5（9）：2.

〔5〕J.Marsden,A.Trombra.Vector Calculus(Fifth Edition).New York:W.H.freeman and Company,2003.

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1673-260X（2011）02-0013-01