AR-GARCH模型在股票市場的應用

辛海明

（中山大學 新華學院，廣東 廣州 510520）

AR-GARCH模型在股票市場的應用

辛海明

（中山大學 新華學院，廣東 廣州 510520）

本文介紹了AR-GARCH模型，以及當前國內外的研究情況，并利用此模型對從2003年1月7日到2010年11月19日的上證指數進行實證分析.結果表明，在股票價格序列中普遍存在的尖峰厚尾現象在上證指數中同樣存在，還有明顯的異方差性，并且AR-GARCH模型可以很好的擬合股指收益率波動情況.

AR-GARCH模型；廣義自回歸條件異方差；收益率

隨著市場經濟的不斷發展和受國外投資策略的影響，越來越多的人都意識到了投資理財的重要性，希望通過合理的投資使自己獲得高于銀行利率的收益，因此收益與風險歷來都是投資者和學者們關注的熱點問題.對未來收益大小的度量與預測則是每個投資者在投資決策前必須考慮的基本問題.一般地說，股票市場價格呈現顯著的波動性，這種波動性隨時間變化，股票投資充滿了風險，因此對股票收益率進行擬合是有意義的.1982年Engle在分析英國通貨膨脹序列時，發現經典的ARIMA模型始終無法取得理想的擬合效果，最后經過對殘差序列的研究，發現問題出在殘差序列具有異方差性.而股票收益率有明顯的異方差性，因此用GARCH模型擬合股票收益率是比較好的.

1 GARCH模型

1.1 ARCH模型

ARCH模型的全稱是自回歸條件異方差模型（autoregressive conditional heteroskedastic），它的完整結構如下：

式(1)中，Var(εt)=ht，f(t,xt-1,xt-2,…)為{xt}的 Auto-Regressive模型模型的實質是使用誤差平方序列的q階移動平均擬合當期異方差函數值.由于移動平均模型具有自相關系數q階截尾性，所以ARCH模型實際上只適用于異方差函數短期自相關過程.

1.2 GARCH模型

在實踐中，有些殘差序列的異方差函數是具有長期自相關性的，這時如果使用ARCH模型擬合異方差函數，將會產生很高的移動平均階數，這會增加參數估計的難度并最終影響ARCH模型的精度.為了修正這個問題，，Bollerslov在1985年提出了廣義自回歸條件異方差（generalized autoregressive conditional heteroskedastic，GARCH）模型，它的結構如下：

式(2)中，Var(εt)=ht,f(t,xt-1,xt-2,…)為{xt}的回歸函數(0,1).這個模型簡記為GAR(p,q).GARCH模型是至今為止最常用、最可行的異方差序列擬合模型.但它的有效使用必須滿足如下兩個約束條件.

1.3 AR-GARCH模型

對殘差序列{εt}擬合GARCH模型有一個基本要求：{εt}為零均值、純隨機異方差序列.有時回歸函數f(t,xt-1,xt-2,…)不能充分提取原序列{εt}中的相關信息，殘差序列可能具有自相關信息，殘差序列可能具有自相關性，而不是純隨機的.這時需要對{εt}先擬合自回歸模型，再考察自回歸殘差序列{vt}的方差性，如果{vt}異方差，對它擬合GARCH模型.這樣構造的模型稱為AR(m)-GAR(p,q)模型：

式(3)中，Var(vt)=ht,f(t,xt-1,xt-2,…)為{xt}的回歸函數(0,1).

除了上述介紹的ARCH、GARCH、AR-GARCH模型外，還有其他形式的GARCH模型，如：EGARCH、IGARCH模型等.因為本文僅采用AR-GARCH模型，故不在此作介紹.

2 滬市AR-GARCH模型的實證分析

2.1 數據選取

本文所收集的數據為從2003年1月7日到2010年11月19日的上證指數的收盤價格，共計1907個.設日收益率為rt，clpr為收盤價格，則最近一日的收益率為rt=(log(clpr)-log(lag(clpr)))，其中lag(clpr)為前一日的收盤價格.

2.2 收益率序列的白噪聲和平穩性檢驗

圖1 收益率的時間序列圖

圖2 收益率的白噪聲和平穩性檢驗

對收益率序列進行白噪聲和單位根檢驗可知（如圖2），收益率序列是平穩非白噪聲序列.

2.3 收益率序列的正態性檢驗

從圖3收益率的描述性統計結果可以看出，上證指數的收益率具有以下一些統計特征：樣本數據偏度小于0，而峰度大于3，表明我國證券市場股票收益率存在尖峰厚尾性，所以不服從正態分布.

圖3 收益率的描述性統計結果

另外，從圖4的正態性檢驗也可以看出，各種正態檢驗的p值小于0.01，即顯著拒絕原假設.

圖4 收益率的正態性檢驗結果

2.4 收益率序列異方差檢驗

圖5 收益率的異方差檢驗結果

從圖5中可以看出，直到高階收益率序列仍然存在著強烈的異方差性，因此用GARCH模型來擬合數據是合理的.

2.5 AR-GARCH模型模擬及擬合效果檢驗

經過收益率序列異方差檢驗結果可知，用AR-GARCH模型擬合是合理的，經過模擬，則在顯著性水平為0.05下，得到的模型為AR(2)-GARCH(1,1)：

由圖6可知，模型的各個參數除了收益率一階回歸常數顯著為零外，其余參數都顯著不為零，并且η1+λ1=0.9929<1，符合GARCH模型要求.Durbinh為0.226接近0.05.

圖6 AR-GARCH模型參數擬合結果及檢驗

3 結論

選擇謹慎科學的收益率度量模型，對我國目前處于發展初期不發達的股票市場來說尤其重要.本文中的AR(2)-GARCH(1,1)模型能較好地描述我國滬市收益率的“易變性聚類”現象，能對未來的收益率進行很好地預測.從而可在大部分區間內反映收益分部的“厚尾”特性將這一模型與風險價值VAR方法相結合，還可以進行較準確的風險度量.

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F83

A

1673-260X（2011）02-0099-02