立式雙擺角銑頭幾何誤差數學建模與解耦研究*

高秀峰 劉春時 李焱 林劍峰

（沈陽機床（集團）設計研究院有限公司，遼寧 沈陽 110142）

立式雙擺角銑頭是中、大規格五軸聯動加工中心的核心功能部件［1－2］，常用于加工具有復雜曲面的大型精密零部件，例如飛機的機身結構件、風力發電機的葉輪等。但由于零部件加工誤差以及裝配誤差等原因，立式雙擺角銑頭存在多項幾何誤差，而幾何誤差又嚴重影響精密零部件的加工精度，因此，必須對其進行補償［3］。但立式雙擺角銑頭由于內部結構非常復雜，多項幾何誤差常常耦合在一起，因此，必須先通過幾何誤差建模與解耦，才能分別對各項幾何誤差進行補償。

1 立式雙擺角銑頭幾何誤差

如圖1所示，以配置立式雙擺角銑頭的龍門式五軸加工中心為例，立式雙擺角銑頭包括圍繞Z軸旋轉的C軸以及圍繞Y軸擺動的B軸，C軸與B軸的聯動可以帶動主軸實現復雜曲面加工。

龍門式五軸加工中心在配置立式雙擺角銑頭之前仍存在多項三軸機床誤差，為防止三軸機床誤差與立式雙擺角銑頭的幾何誤差耦合在一起并且簡化計算，龍門式五軸加工中心在配置立式雙擺角銑頭之前，應當對三軸機床的各項誤差進行檢測與補償。

立式雙擺角銑頭理論幾何精度應當為C軸軸線與主軸軸線重合，B軸軸線與主軸軸線垂直相交。

但由于在實際制造過程中，存在的零部件加工誤差以及裝配誤差，導致立式雙擺角銑頭裝配完成后，C軸軸線、B軸軸線以及主軸軸線之間存在一定的位置誤差與角度誤差，各項幾何誤差如表1所示。

表1中，δxSB表示主軸軸線（S軸）與B軸軸線在X方向產生的位置誤差，其他位置誤差符號含義與此相同。αSB表示主軸軸線與B軸軸線圍繞X軸方向產生的角度誤差，其他角度誤差符號含義與此相同。

表1 立式雙擺角銑頭與龍門式五軸加工中心幾何誤差表

2 立式雙擺角銑頭幾何誤差數學模型與幾何誤差解耦

2．1 立式雙擺角銑頭幾何誤差數學模型

將立式雙擺角銑頭的各項幾何誤差分別分解到機床坐標系的YMZM平面與XMZM平面上，各幾何誤差如圖2與圖3所示。

根據圖2與圖3可以得到如下關系式:

其中:L為B軸軸線與球桿儀球心之間的距離。

當θB=0°時，式（3）與式（4）為

當θB=90°時，式（3）與式（4）為

當θB= －90°時，式（3）與式（4）為

由式（1）～（5）可以得出，主軸、B軸與C軸的各項位置誤差與角度誤差均耦合在一起，為簡化建模，采取B軸與C軸非聯動運轉的方法，并借助于球桿儀進行各項綜合誤差的檢測。

建立B軸與C軸幾何誤差數學模型的原則是:通過B軸與C軸非聯動運轉，借助球桿儀分別測量出各項誤差敏感方向的綜合誤差值，然后通過分析各項位置誤差與角度誤差在誤差檢測方向之間的耦合關系，才能最終確定B軸與C軸的幾何誤差數學模型。

2．1．1 C軸幾何誤差數學模型

當B軸位于0°時，旋轉 C軸從0°～180°，并利用球桿儀如圖4所示分別測量XM方向與YM方向的C軸綜合誤差。然后通過將C軸位于 0°、90°與 180°時球桿儀的測量值減去球桿儀測量球桿的長度 R，并將 0°、90°及180°同一方向的計算誤差值按照式（18）至式（21）的對應關系分別相加減，便可以得到位于機床坐標系下的XM方向與YM方向C軸綜合誤差LXM1、LXM2、LYM1與LYM2。

由圖2與圖3，并考慮立式雙擺角銑頭與機床坐標系之間的角度誤差γCM，C軸綜合誤差在C軸坐標系的XCYC平面與各項幾何誤差之間的耦合關系如圖5所示。

由圖5可以分別得出在C軸坐標系的XC方向與YC方向C軸綜合誤差，各項誤差如式（12）～（17）所示。

考慮C軸坐標系與機床坐標系之間的角度誤差αCM與βCM，將式（12）～（17）由C軸坐標系轉換到機床坐標系，便可以得到機床坐標系下的XM方向與YM方向C軸綜合誤差數學模型，數學模型如式（18）～（21）所示。

2．1．2 B軸幾何誤差數學模型

當C軸位于0°時，分別從0°順時針與逆時針旋轉B軸到90°與－90°，并利用球桿儀（如圖6所示）分別測量XM方向與ZM方向的B軸徑向與切向綜合誤差。然后通過將B軸位于0°、90°與－90°時球桿儀的測量值減去球桿儀測量球桿的長度R，并將0°與90°及－90°同一方向的計算誤差值按照式（28）～（31）的對應關系分別相加減，便可以得到位于機床坐標系下的XM方向與 ZM方向 B軸綜合誤差 LXM3、LXM4、LZM1與LZM2。

由圖3，并考慮主軸與C軸之間的角度誤差βSC，B軸綜合誤差在B軸坐標系的XBZB平面與各項幾何誤差之間的耦合關系如圖7所示。

由圖7可以分別得出在B軸坐標系的XB方向與YB方向B軸綜合誤差，各項誤差如式（22）～（27）所示。

由于B軸坐標系與C軸坐標系平行，考慮B軸坐標系與機床坐標系之間的角度誤差αCM與βCM，將式（22）～（27）由B軸坐標系轉換到機床坐標系，便可以得到機床坐標系下的XM方向與ZM方向B軸綜合誤差數學模型，數學模型如式（28）～（31）所示。

2．2 立式雙擺角銑頭幾何誤差解耦

通過分析各幾何誤差之間的耦合關系，并借助于球桿儀分別測出各項誤差敏感方向的綜合誤差值，建立了式（18）～（21）、式（28）～（31）的幾何誤差數學模型。從表1可以得出立式雙擺角銑頭的4項位置誤差、6項角度誤差以及2項定位誤差，但幾何誤差數學模型僅有8個方程，因此不足以解出12項誤差值。

通過分析圖3，可知βSC表征B軸位于0°時的B軸定位誤差，因此，βSC可以借助B軸定位誤差檢測與補償加以解決。同理，γCM可以借助C軸定位誤差檢測與補償加以解決。

通過B軸與C軸定位誤差檢測與補償后，立式雙擺角銑頭只包括4項位置誤差與4項角度誤差，共8項誤差值，而幾何誤差數學模型有8個方程，因此，每個誤差均有唯一解。

B軸與C軸定位誤差可以借助于激光干涉儀與RX10回轉基準分度器進行檢測，詳如圖8所示。將檢測到的定位誤差值輸入到數控系統中便可以進行相應的誤差補償。

B軸與C軸定位誤差檢測與補償后，則有βSC=0，γCM=0。式（18）～（21）、式（28）～（31）分別化簡為:

通過解方程（35）～（42）各項幾何誤差最終結果如下:

αSB+αBC表征主軸軸線與C軸軸線圍繞X軸方向產生的角度誤差，因此，可以將兩個角度誤差的和進行補償，而沒有必要分別進行補償。

3 結語

立式雙擺角銑頭在裝配完成后，C軸軸線、B軸軸線、主軸軸線以及配套機床之間存在4項位置誤差、6項角度誤差以及2項定位誤差，通過分析各幾何誤差之間的幾何關系，并借助于球桿儀對各誤差敏感方向進行綜合誤差檢測，可以建立立式雙擺角銑頭幾何誤差數學模型，但該數學模型僅有8個方程。通過激光干涉儀與RX10回轉基準分度器對B軸與C軸的定位誤差進行檢測與補償，使得幾何誤差總數由12項減少為8項，因此，最終可以通過幾何誤差數學模型求得各幾何誤差的唯一解。

［1］林劍峰，閆明，鄭鵬，等．直驅式A/C軸雙擺角銑頭模態分析［J］．機械傳動，2010，34（4）:61－63．

［2］林劍峰，閆明，鄭鵬，等．直驅式雙擺角銑頭C軸傳動部分有限元分析［J］．機械傳動，2010，34（5）:59－61．

［3］MUDITHA Dassanayake K M，MASAOMI Tsutsumi，AKINORI Saito．A strategy for identifying static deviations in universal spindle head type multi－ axis machining centres［J］．International Journal of Machine tools＆ Manufacture，2006，46:1097－1106．