巴斯噶蝸線型齒輪的嚙合特性及數字制造技術研究

劉永平 孟鵬飛

（①蘭州理工大學數字制造技術與應用省部共建教育部重點實驗室，甘肅蘭州 730050;②蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州 730050）

巴斯噶蝸線是法國數學家為解決阿基米德斜向問題而發明的一種蚌線，這種蝸線在機器中具有獨特的作用，通常作為特定場合使用的凸輪輪廓曲線。巴斯噶蝸線型齒輪就是根據上述背景提出的，是一種新型的非圓齒輪，即變傳動比齒輪，它以巴斯噶蝸線作為齒輪的節曲線參數方程［1］。

文獻［1］的初步研究結果表明，巴斯噶蝸線型齒輪是可以實現變傳動比的。這種齒輪可用于在機床往復運動機構、農用機械（谷物收割機、插秧機分插機構）、紡織機械引緯機構、冶金行業連鑄機等裝置中，實現周期性往復運動［2］;另外，根據巴斯噶蝸線的運動特性，這種蝸線型齒輪還可以用于設計微沖擊振動的無曲軸發動機和壓縮機，具有傳動效率高、運動平穩、工作可靠等優點。

據國內外相關資料來看［2－4］，有關巴斯噶蝸線型齒輪及其共軛的非圓齒輪的研究，目前僅局限于簡單的理論分析和計算模擬。本文通過對巴斯噶蝸線型齒輪及其共軛的非圓齒輪的嚙合特性及數字制造技術研究，為這類齒輪的設計、制造、測量及應用提供較為系統的理論基礎，以進一步拓展非圓齒輪的研究和應用范圍。

1 巴斯噶蝸線的定義及性質

如圖1所示，在極坐標系中，半徑為b/2、圓心為（b/2，0）的發生圓上任一點的向徑方向上，與該點距離為l的點的軌跡稱為巴斯噶蝸線［5］。其數學方程為r=bcosθ+l，式中，b為發生圓的直徑，l為定長。當b和l的取值不同時，巴斯噶蝸線的形狀也不同，主要有以下4種情況，如圖2所示:

（1）當 l≥2b 時，Pascal蝸線為全凸封閉節曲線，如圖2a所示;

（2）當 b＜l＜2b時，Pascal蝸線為無卷曲的內凹曲線，如圖2b所示;

（3）當 l=b時，Pascal蝸線為心臟曲線，如圖2c所示;

（4）當l＜b時，Pascal蝸線為有卷曲的內凹曲線，如圖2d所示。

2 巴斯噶蝸線型齒輪的節曲線

2．1 巴斯噶蝸線型齒輪副的節曲線方程

對外嚙合傳動的非圓齒輪副，若主動輪1的節曲線是一巴斯噶蝸線，則該節曲線方程為［1］

根據微分幾何，它上面各點的曲率半徑計算公式為

設與其共軛的從動輪2的階數為n2，則齒輪2節曲線封閉的條件為

此時齒輪副的中心距a為

則從動輪2的節曲線方程為

外嚙合齒輪副的傳動比為

主動輪1的節曲線弧長為

為方便計算，令 L=l+b，Sa=l－ b，k=Sa/L。L稱為長軸，Sa稱為短軸，k為長短軸比率。則l=（L+Sa）/2，b=（L－Sa）/2。將其轉換在直角坐標系中，計算弧長，可得

另外，根據節曲線的封閉性和輪齒在節曲線上的均布性，其弧長還必須滿足條件［6－8］

因此，在設計這種齒輪時，當主動輪齒數z1、模數m、長短軸比率k確定后，就可以根據式（8）和（9）求解出L的值，得出其主動輪節曲線方程。然后由式（5）得出從動輪節曲線方程。

2．2 巴斯噶蝸線型齒輪的傳動比

當 n2=1，k=0、0．2、1/3、2/3、1、1．5、2 時，由公式（5）和（6）計算并繪制蝸線齒輪副傳動比曲線，如圖3所示。考慮到蝸線節曲線全凸的條件:k≥1/3。從圖中可以看出，在k=0時，蝸線是心臟線，其節曲線存在內凹且有尖點，傳動比曲線變化幅度較大;當0＜k＜1時，傳動比的幅度（Ai12）隨著k值的變大而變小，即Ai12和i12成反比;當k=1時，蝸線節曲線變為圓，傳動比為一定值;當k＞1時，傳動比的幅度（Ai12）隨著k值的變大而變大，即Ai12和i12成正比。

當 k=2/3，n2=1、2、3、4、5 時，蝸線齒輪副的傳動比函數曲線如圖4所示。可以看出，當k為定值時，傳動比的幅度（Ai12）隨著n2值的變大而變小，即Ai12和i12成反比。

2．3 巴斯噶蝸線型齒輪的凸凹性

由第1節分析可知，對于這種類型的齒輪，其節曲線的凸凹性和k值有關。當k≥1/3時，該齒輪的節曲線全凸;特別的，當k=1時，蝸線成為半徑為l的圓;當0＜k＜1/3時存在內凹但無卷曲;當k=0時，蝸線成為心臟線;當k＜0時，出現卷曲，這種情況無法滿足齒輪的傳動要求。下面討論一下與其相嚙合的從動輪的凸凹性。

為了計算方便，引入新的符號d。d稱為相對中心距。

令ε為偏心率，則

由此可得

由文獻［3］可知，從動輪的曲率半徑為

由于a＞r1，式（13）中分子總是正值，所以與蝸線齒輪嚙合的非圓齒輪2的節曲線上不出現內凹部分的條件，是分母大于等于零，即

對式（14）求導可知，此式最小值是在θ1=0，r1=l+b時取得，將其代入式（14）得

由式（12）及（15）知，當 n2=1、2、3、4 時，k≥1/3就能保證與蝸線齒輪共軛的非圓齒輪節曲線為凸。

3 巴斯噶蝸線型齒輪的齒形設計

由于非圓齒輪的齒形隨著輪齒所處的節曲線位置不同而不同。因此，不論是用齒形法或用解析法來求齒形均較麻煩。為了作圖簡便，可利用“折算齒形”來繪制［9］。如圖5所示，若非圓齒輪上A點是第一個輪齒的中點，該齒的對稱軸與A點節曲線的法線方向一致，則該齒的齒形近似于半徑為ρA（節曲線上A點的曲率半徑）的圓柱齒輪齒形，而該圓柱齒輪的齒數ZA稱為“折算齒數”。

折算齒數按如下公式計算

其中，A點的曲率半徑即ρA為

同理可計算出B點以及其他等分點處的曲率半徑，并用與其相對應的圓柱齒輪齒廓來代替該等分點處的齒廓。

4 巴斯噶蝸線型齒輪的CAM實例分析

為了驗證上述研究內容的正確性，下面列舉實例對巴斯噶蝸線型齒輪及其CAM技術進行分析。設給定初始參數:b=20 mm、l=34 mm、m=3 mm、z1=25、n1=1、n2=2。由于l≤2b，故主動輪節曲線不是全凸的，存在一定的內凹。其節曲線、齒頂線、齒根線如圖6所示。該齒輪各個等分點處的曲率半徑ρ和折算齒數ZA如表1所示。

表1 主動輪齒形參數

根據表1數據，利用CAXA軟件繪制出主動輪的各個輪齒齒形，如圖7a所示;其三維仿真結果如圖7b所示。

同理，可以計算并繪制出與蝸線齒輪共軛嚙合的從動輪，其中z2=54，齒輪副中心距a=110.031 mm，齒輪副嚙合狀態及齒形圖如圖8所示。可以看出，從動輪也是一非圓齒輪。

5 結語

巴斯噶蝸線型齒輪是一種新型的非圓齒輪傳動機構，具有與傳統非圓齒輪（橢圓齒輪、偏心圓齒輪）不可替代的傳動特性。本文根據非圓齒輪嚙合原理，通過對巴斯噶蝸線型齒輪節曲線的參數化設計、傳動特性分析、齒形設計、CAM分析及加工仿真，系統研究了這類齒輪的嚙合特性及數字制造技術，驗證了這類齒輪傳動的可行性及可加工性，為其實際應用提供了較為系統的理論基礎，具有較高的實用價值。

［1］劉永平，吳序堂，李鶴岐．常見的凸封閉節曲線非圓齒輪副設計［J］．農業機械學報，2007，38（6）:143 －146．

［2］廖偉，趙勻，方明輝．巴斯噶蝸線齒輪在分插機構上的應用和參數優化［J］．浙江理工大學學報，2009，26（3）:547 －550．

［3］任廷志，程愛明，景奉儒．蝸線齒輪及其共軛齒輪的幾何分析與仿真［J］．機械工程學報，2006，42（9）:71－77．

［4］BAIR B W．Computer aided design of non－standard elliptical gear drives［J］．Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，2002，216（4）:473－483．

［5］《數學手冊》編寫組．數學手冊［M］．北京:人民教育出版社，1979．

［6］吳序堂，王貴海．非圓齒輪及非勻速比傳動［M］．北京:機械工業出版社，1997．

［7］TONG S H，YANG C H．Generation of identical noncircular pitch curves［J］．Transactions of the ASME，Journal of Mechanical Design，1998，120（2）:337－341．

［8］BAIR B W．Computer aided design of elliptical gears［J］．Transactions of the ASME，Journal of Mechanical Design，2002，124（6）:787－793．

［9］LITVIN F L．Gear geometry and applied theory［M］．NJ:Prentice－Hall，1994．