基于牛頓迭代搜索法的多節點協同振源定位研究*

朱亞坤，馮立杰

(1.武警工程學院研究生管理大隊，西安 710086;2.武警工程學院通信工程系，西安 710086)

多節點協同振源定位技術無論是在橋梁監控、倉庫監視、環境監測，還是在軍事上對哨位監視、戰場探測等方面有著廣泛的應用。近年來，由于時差測量技術和精度的不斷提高，基于到達時間差(Time difference of arrival，TDOA)的目標定位技術成為該領域的熱點之一，產生了豐富多樣的定位算法。受應用環境和系統復雜度等因素的影響，采用多節點協同定位對二維空間的目標進行定位更為適宜，如人跡罕至惡劣條件的邊遠地區邊境巡邏的被動定位等。目前研究較多的是特殊平面陣列(如十字陣、五元陣)的目標定位技術［1］，本文對傳感器陣列的牛頓迭代協同定位進行研究。目標定位算法通過求解一組以各傳感器為焦點的雙曲線方程(即TDOA方程)獲得目標空間坐標的估計［2］。由于TDOA估計誤差無法避免，如何提高定位精度是定位技術應用的關鍵。本文通過引入灰色關聯的概念建立了多傳感器節點協同定位的模型，其次討論了多節點協同定位的原理與算法，最后將該算法與平均加權算法［3］和最小二乘法［4］進行仿真比較。

1 灰色關聯

圖1 多節點協同定位模型

在多節點協同定位中(如圖1)，對來自于同一目標的振源信號先進行相關分析是很重要的。實際經驗已表明，對相同的振源，采集的不同的傳感器節點信號在同一時間內特征參數(如頻率、過零率、振幅，頻譜密度等)具有很大的相似性。所以，對采集的各節點信號某些特征參數，按振源信號類內相似性盡量大、類間相似性盡量小的準則［5］加以相關處理。由于灰色關聯度的基本思想是根據曲線間相似程度來判斷因素間的關聯程度的，這里采用灰色系統理論的絕對關聯度定義和性質來實現。

假設X0=(x0(1)，x0(2)，x0(3)，…，x0(n))為參考節點的收到的振源信號特征序列(即，為要定位的振源信號特征序列，x0(k)(k=1，2，3，…，n)為該振源信號所對應的特征參數，如頻率、過零率、振幅，頻譜密度等)，Xi=(xi(1)，xi(2)，xi(3)，…，xi(n))，i=1，2，3，…，m為某節點協同定位的與之比較的振源信號特征序列(以上序列均歸一化)，則X0與Xi的灰色絕對關聯度定義為［6］:

于是 ζ0i(i=1，2，3，…，m)中的最大值所對應的信號，既是要定位的振源信號.

2 定位原理

對振源進行定位，實質上是一種無源定位技術，采用多站測向交叉的方法來實現對振源的定位［7］。振源定位系統每個接收基陣的若干個(4個以上)接收傳感器陣元按某種幾何關系進行布陣。由于各接收傳感器無法得到信源發出信號的時刻，它們難以實現時間同步，只能利用信號到達N個接收傳感器之間的時延差，建立雙曲面交匯模型來求解振源位置［8］。

建立了一個以特定基點為坐標原點(0，0)的二維坐標系。設已知N個接收傳感器在此坐標系中的坐標為Ci(xi，yi)(i=1，2，…N)，振源到N個接收傳感器的距離值為ri(i=1，2，…N)，振源定位示意圖如圖2。假定振源發出信號的傳播速度為常數c，τi1表示振源到第i個接收傳感器與到第1個接收傳感器之間的時間差，ri1表示信源到第i個接收傳感器與到第1個接收傳感器之間的距離差。

圖2 振源定位示意圖

則可建立N－1個定位方程為:

求解上述方程組等價于非線性最優化問題，通過改進算法可以得到最優解。

3 定位算法

牛頓迭代法具有收斂速度快的特性，在滿足一定定位精度的條件下，可以節省計算時間，但是牛頓迭代法是否收斂及其收斂速度與初始值的選擇有關，解決好初始值的問題是保證牛頓迭代法良好性能的前提條件［9］。而最小二乘法具有很好的估計特性，但受測量誤差的影響較大，使用最小二乘法進行定位解算會產生很大的誤差，難以滿足定位精度的要求?；趦煞N算法的優缺點，將最小二乘法的得到的估計值作為牛頓迭代算法的初始值進行迭代計算，可以很好地實現算法的優化。根據牛頓迭代搜索法的條件，從N－1個方程中選出前2個建立如下方程組:

其雅可比矩陣為:

當雅可比矩陣為非奇異陣時，［f'(x，y)］－1存在，則必滿足det(f')≠0，具體表示為:如果滿足上述條件，則振源的位置利用牛頓迭代法可表示為［10］:

由上述表達式可知，要得到振源的精確位置，需要設定合適的初值(x(0)，y(0))，才能保證算法是否收斂及其收斂速度。

由前面的分析可知，為了解決信源初始值的選定問題，可以充分利用最小二乘法的估計結果，作為牛頓迭代法的初始值。根據文獻［4］的推導結果，可以得到如下線性方程組:

將方程組(14)轉化成矩陣型式為［11］:

利用最小二乘法得到估計解:

4 仿真實驗

為了驗證改進算法的性能，對此算法與平均加權法和最小二乘法法進行了仿真，比較三者的統計特性，這里的估計器都是有偏估計器，其性能評價準則一般采用均方根誤差(RMS)，即

式中:α為樣本估計偏差;β為樣本標準方差。本文將使用Monte-Carlo方法比較三種算法的樣本偏差、樣本標準方差和均方根誤差。仿真中采用5個傳感器組成的半徑為10 m的平面圓陣，建立坐標系如圖3所示。

設振動傳播的速度c=140 m/s，TDOA測量值由真實的TDOA值加上零均值，方差為σrms的白噪聲序列得到。這里設σrms=0.05 m，那么TDOA測量誤差的方差 σrms/c為357 μs。

圖3 五元十字陣傳感器陣列和目標的關系

五元十字陣可以看作是8個等腰直角三角陣和兩個線形振的組合。

對于等腰直角三角形定位算法，可知:

對于線性振定位算法，可知:

令此算法為算法1，平均加權法為算法2，最小二乘法為算法3。

目標方位角Φ=π/4，陣源L距原點的距離為r從20 m到100 m的范圍變化。對近場目標，目標到原點的距離r從20 m到100 m之間變化時，定位誤差曲線如圖4所示。

在r=50 m時，Φ的誤差如圖5所示。

圖4 偏角固定的近場目標定位誤差

圖5 距離固定的近場目標定向誤差

從圖4圖5可以看出，對近場目標，通過算法1的樣本定位精度提高了3～10倍。算法1曲線較平穩，在抑制標準方差上性能最佳，抑噪性能最優。

以目標到原點的距離大于陣列孔徑10倍作為遠場目標。對遠場目標，設Φ=π/6，定位誤差曲線如圖6所示。

圖6 偏角固定的遠場目標定位誤差

圖7 距離固定的遠場目標定向誤差

由圖6可以看出，對遠場目標，各算法樣本偏差差別較大。算法1在樣本標準方差上性能明顯優于算法2，3，從而r的均方根誤差最小。此外，通過仿真也可以看出使用平面陣對目標進行定位，隨著目標距離增大，目標定位誤差也隨之增加。

由圖7可以看出，在遠場目標，算法1的目標定向的精度比算法2高出近4倍，比算法3高出近10倍，在r=200時，算法1的定向誤差范圍是2 m，算法2的定向范圍誤差是4 m，算法3的定向誤差范圍是6 m。

5 結束語

本文解決了牛頓迭代法的初始值問題，避免了人為設定初始值造成牛頓迭代算法的不收斂，實現了算法的優化。實驗結果表明，牛頓迭代定位算法具有良好的收斂性能，文中提出的算法對于提高協同定位精度是有效的。算法對近、遠場目標定位性能均優于傳統的最小二乘法和平均加權法，改善了TDOA測量誤差對目標定位精度的影響。

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