微陀螺梳齒靜電驅動力的計算方法

姚峰林，高世橋

(1.北京理工大學 機電學院，北京 100081;2.太原科技大學機電學院，太原 030024)

微機械陀螺是20世紀80年代后期發展起來的一種測量角速度或角位移的慣性傳感器，是微機電系統(MEMS)技術應用的一個重要方面［1］。微機械陀螺與傳統陀螺相比，具有體積小、重量輕、成本低、功耗低、能適用于較為惡劣的環境、可以批量生產、易與CMOS接口電路集成、以及數字化和智能化等特點［2－3］。微機械陀螺的優良特性決定了它具有廣闊的應用前景與商業和軍事價值［4］。目前，大多數微機械陀螺還主要應用于中低精度場合，由于高精度應用場合的需求，需要研制出高性能高精度的微機械陀螺［5］。

由于靜電驅動力是研究微結構靜態、動態力學的基礎，它將影響微機械陀螺的信噪比和靈敏度，準確計算微結構靜電力是合理、準確地分析、設計靜電驅動微結構的前提條件［6］。目前的靜電力的計算大多是基于無限大平模型的［7－8］，實際上，在微陀螺梳齒的分析中，無限大平板理論應用在有限尺度的電極上是近似的。趙劍等采用復變函數法推導了考慮邊緣效應的兩個近似簡化公式，并作了精度分析［9］。但梳齒結構上具有拐角結構，在電容和靜電力計算時，需要考慮這一特殊性。

1 靜電驅動的原理

由電容式微機械陀螺儀工作原理可知，要想使陀螺儀工作，陀螺儀接口電路必須使陀螺儀振動質量塊在驅動模態方向振動［10］。對于靜電驅動微機械陀螺儀而言，主要利用靜電力來達到驅動微陀螺儀質量塊振動的目的。當在兩導體結構間施加一定的電壓時，導體表面分別攜帶有數量相等的正、負電荷，正、負電荷之間存在庫侖力作用［11］。采用差動梳齒驅動器是驅動微機械陀螺的常見方式，也就是直流(如圖1所示的Vdc)加交流(如圖1所示的Vacsin(ωdt))的推挽驅動［12］，差動梳齒驅動器的結構如圖5、圖6所示。

圖1 差動梳齒驅動器示意圖(左)與照片(右)

2 靜電驅動力的計算

微梳齒結構是基于平行板電容模型的，因此計算平行板電容的靜電力大多采用此模型，如圖2所示，平行板電容器邊長為a、b，板間距為d。假設下極板固定，上極板通常有兩種運動方式:一種為相對下極板垂直運動，一種為相對下極板水平運動。而對于實際情況下的微梳齒結構來說，梳齒的長寬高及梳齒間距相對來說都是有限長度的。當兩極間加上反向電壓發生順向移動時，齒間會因反向電壓的作用產生電容，此時考慮梳齒的厚度，以及齒根部拐角部分的影響，并不能簡單的取理想情況下的無限大平行板模型來進行運算，這時要考慮微梳齒結構間的邊緣效應以及拐角效應。另外，由于陀螺結構的特殊性，只能使梳齒結構在平行于齒順向進行運動，這里運動的方向為X。

圖2 平行板模型與微結構的梳齒模型對比

2.1 無限大平板模型

無限大平板模型是目前微結構中應用最多的，此模型假設a、b相對于d無限大，即忽略電容的邊緣效應，根據電容定義，可求得:

利用電勢能和虛位移原理可求得平行運動靜電力為

對于微機械陀螺中的梳齒結構，尺度為微米量級甚至更小，而且由于加工條件限制，a、b不能過長，而間距d不能太小，d相對于a、b不能取無限大，一般不能簡單直接應用上述公式，而需要考慮邊緣效應帶來的影響［9］。因此針對實際的問題，需在無限大平行板電容模型的基礎上，考慮各類效應的影響。

2.2 考慮邊緣效應模型

通常微機械陀螺結構都采用高縱深比工藝加工，因此厚度方向可視為相對齒寬和間距無限大，這從另一方面說明了討論二維模型的可行性。從圖3中A所指部分，在梳齒的邊緣部分電勢的變化非常明顯，這與無限大模型的電場均勻分布模型具有明顯的區別。可以看出梳齒邊緣的電勢分布是相當可觀的，對微陀螺的驅動力會有明顯的影響，使用無限大平板模型一定會帶來誤差。

圖3 微陀螺梳齒結構的電勢分布和Ansys模型

應用保角變換是求解二維平行板電容的一種典型方法，相關文獻［9］給出了考慮邊緣電場的電容計算式，由于在求解過程中作了近似處理，因此該解析式也是近似解:

其中，

因此梳齒橫向靜電力為

其中，

2.3 梳狀結構電容的拐角效應

從圖3中B所指部分，可以看出進入梳齒槽內的梳齒邊緣的電勢分布也是不均勻的，非均勻電場，這里把進入梳齒槽內部的梳齒邊緣與槽之間的部分叫做拐角如圖4所示。使用無限大平板模型來計算微陀螺的驅動力必然會有一定的誤差。考慮邊緣效應時，只是簡單的從平行板邊緣效應出發，將梳齒結構近似成平行板電容器的并聯，加入邊緣附加項。這些模型都忽略了梳齒自身的結構特點，因此這里提出一種新的電容計算方法，并與以上模型進行對比。

為了計算拐角效應的影響［13］，取梳齒的1/4進行分析如圖4所示，利用非線性電容特性公式

其中，ε(l)為區域間填充介質的介電常數，這里介質為空氣，因此ε(l)=ε0;S(l)為等勢面，只要確定區域內的等勢面函數，就可以求出區域的電容。

下面建立幾種拐角處的近似電勢場模型來計算電容，并與無限大平板模型和考慮邊緣效應模型進行對比，這里不考慮厚度方向的邊緣效應影響。

圖4 拐角模型示意圖

2.3.1 矩形等勢線

在g、d上取等分點，作矩形等勢線，如圖4所示，在設計中交疊長度a很大，所以可以認為電容由兩部分組成，一部分為a/2的平行板電容，一部分為拐角和齒間與根部電容。

2.3.2 圓弧等勢線

在g、d上取等分點，作圓弧等勢線如圖5所示。

圖5 拐角模型示意圖

若S(x)計及a/2段，則

2.3.3 與g無關的模型

注意到模擬中電勢場在一定范圍內與位移基本無關的特點，建立與g無關的模型，利用式(2)中的結論，取g=Nd

2.3.4 圓等勢線

以M為圓心在拐角處作1/4圓作為等勢線，如圖6所示。

圖6 拐角模型示意圖

若S(x)不計及a/2段，即認為電容仍有兩部分構成，則

若S(x)計及a/2段，則

將以上4種模型與無限大平板模型、邊緣效應、拐角效應模型和有限元分析進行對比，梳齒結構的參數取h=55 μm，b=4.2 μm，d=3 μm，L=87 μm，齒數為N=1184時，計算間距g不同時電容的值，如圖7所示。齒頂與齒根的距離變化時靜電力的大小如圖8所示。

圖7 電容隨間距變化圖

圖8 靜電力隨間距變化圖

靜電力直接影響微陀螺的驅動振幅，進而影響微陀螺加速度的檢測值。圖9列出了考慮邊緣效應和拐角效應時和不考慮邊緣效應時振動的振動曲線。

圖9 不同驅動電壓下振幅變化規律

3 結論

由圖7中可以看出，各種模型的計算的電容結果表明，隨著梳齒間距的縮小，梳齒電容大多是線性增加的，但當梳齒的間距小于5 μm后，電容產生了迅速的增加。其中，無限大平板模型計算出的電容是最小的，考慮邊緣效應的電容值要比無限大平板模型要大，拐角效應模型比邊緣效應和無限大平板的模型的結果都要大。對于C20模型，由于選擇的是g和d的中點作矩形等勢線，故而在靜梳齒和動梳齒不充分接近的時候(＞3 μm)，這種模型數值偏小;對于C21和C31模型，也采用了g和d的中點作弧等勢線，故而在靜梳齒和動梳齒不充分接近的時候(間距＞10 μm)，這種模型數值偏大;對于C22和C32模型，是在C21和C31模型上對直線段等勢面方程的變形，由于這種假設的幾何模型只限于在梳齒間距充分小的時候，所以在間距較大時也有較大的偏差，但是對于C21，C31，C22和C32四種模型在10 μm左右的范圍內卻其它模型數值接近，同時當梳齒間距＜5 μm后數值發生跳變;對于C41和C42模型，是對d的中點單獨作1/4圓等勢線，這種模型的電容數值比較穩定，但是隨著交疊長度增加，它的值卻小于了邊緣效應值。

從圖8中可以看出，當動靜梳齒間距大于5 μm時，梳齒間的靜電力在X軸方向隨間距不會有明顯變化;但當梳齒間距進入5 μm階斷后，靜電力產生了迅速的增加。考慮邊緣效應的模型要比無限大平板模型計算出的靜電力要大，邊緣效應模型在梳齒未交疊之前就有靜電吸引力的作用，這充分體現了邊緣效應的作用;考慮拐角效應的靜電力Fx21，Fx22，Fx31，Fx32模型比無限大平板模型的Fx-infinite和邊緣效應模型的Fx-edge-effect都要大;考慮拐角效應的Fx41，Fx42在間距較大時與無限大平板模型接近，但當梳齒充分接近時，不能反映靜電力的非線性增長;Fx21，Fx31在梳齒充分接近時(＜5 μm)，靜電力的變化趨勢有誤，這與把等勢場主觀地分成兩塊有關;Fx41，Fx42靜電力的變化趨勢也有誤，這與兩種模型的假定是等勢場的線性變化是相關的。

考慮邊緣效應和拐角效應的電容和靜電力結果均比理想結果要大，并且更接近Ansys模擬結果。這說明在微尺度條件下靜電場的邊緣效應和拐角效應應當在設計和計算時充分考慮，拐角效應的各種模型也有局限性。另外，間距無限近時，電容和靜電力都迅速增大，此時動齒和定齒之間會產生吸合效應。因此對于使用梳齒結構作為陀螺驅動，需要確定活動位移以及靜電電壓范圍，保證其工作在準線性范圍內。

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