基于ARIMA模型的我國GDP分析預測

王正宇 王紅玲

(安徽大學經濟學院，安徽合肥230601)

一、有關時間序列分析的理論

時間序列分析，在預測一個時間序列未來的變化時，不再使用一組與之有因果關系的其他變量，而只是用該序列的過去行為來預測未來，不僅考察預測變量的過去值與當前值，同時對模型同過去值擬合產生的誤差也作為重要因素進入模型，作為一種精確度相當高的短期預測方法，近年來在經濟預測過程中廣泛應用并取得了相當好的結果。

ARIMA模型是一類常見的隨機時間模型，它是由美國統計學家博克斯和英國統計學家詹金斯于20世紀70年代提出來的，亦稱B－J方法。其基本思想是將預測對象隨時間推移而形成的數據序列視為一個隨機序列，用一定的數學模型來近似描述這個序列。這個模型一旦被識別后就可以從時間序列的過去值及現在值來預測未來值。

Box－Jenkins方法在應用中的常見模型形式為:自回歸移動平均模型(Autoregressive Moving Average Model，簡記ARMA):若時間序列Yt為它的當前與前期的誤差和隨機項，以及它的前期值的線性函數:

則稱該時間序列yt為自回歸移動平均模型，記為ARMA(p，q)。參數 φ1，Λ，φp 為待估自回歸參數，θ1，Λ，θq為待估移動平均參數，殘差μt為白噪聲序列。顯然，AR(p)模型和MA(q)模型都是ARMA(p，q)模型的特例。Box－Jenkins模型要求時間序列為平穩序列，而實際應用中時間序列往往表現為長期趨勢，季節變動、循環變動的非平穩數列，這時可通過差分法反復差分以消除其趨勢，于是上述ARMA(p，q)又經常以自回歸移動求積平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡記ARIMA)的形式加以標記。其模型符號為ARIMA(p，d，q)，p代表自回歸階數d，表示對非平穩數列進行差分處理的次數，q代表移動平均的階數。

該方法把時間序列建模表述為三個階段:

第一，模式識別:確定時間序列應屬的模型類型，其基本原理是根據數據的相關特性進行鑒別;

第二，估計模型的參數，并結合定階準則和殘差檢驗對模型的適用性進行診斷檢驗;

第三，應用模型進行預測。

二、基于ARIMA模型分析預測中國國內生產總值(GDP)

從中國統計局統計年鑒上摘錄的1978—2008年中國GDP(生產法)依次如下(單位:億元):

從數據的散點圖上來看，我國GDP對時間折線圖序列表現出趨勢性，經驗判斷是不平穩的。

方法上序列的平穩性可以用自相關分析圖(自相關函數ACF圖和偏自相關函數PACF圖)判斷:如果序列的自相關系數AC很快地(滯后階數K大于2或3時)趨于0，即落入隨機區間，時序是平穩的，反之非平穩。經過檢驗該序列非平穩。

也可以檢驗對所有k＞0，自相關系數都為0的聯合假設，這可通過如下Q統計量進行，該統計量近似地服從自由度為m的χ2分布(m為滯后長度)。因此，如果計算的Q值大于顯著性水平為ɑ的臨界值，則有1－ɑ的把握拒絕所有自相關系數同時為0的假設。若樣本較小，則m一般取［n/4］。

從Q統計量的計算值看，滯后8期的計算值為71.83，超過5%顯著性水平的臨界值15.51拒絕所有相關系數都為0的假設。

在現實中，常見的時間序列多具有某種趨勢，但許多序列通過差分可以平穩。如果原序列非平穩，經過d階逐期差分后平穩，則新序列稱為齊次序列。平穩序列可以建立ARMA(p，q)模型。原序列可表示為ARIMA(p，d，q)模型。判斷時間序列的趨勢是否消除，只需考察經過d階差分后序列的自相關序列圖，自相關系數是否很快趨于0。

首先進行一階差分，經過一階差分的序列仍然不平穩。因此需要繼續差分。

進行二階差分后，對二階差分GDP做ADF檢驗，以檢驗序列是否有單位根，即是否非平穩，二階差分后的序列ADF單位根檢驗結果證實了它的平穩性。

模型的識別與建立:

在需要對一個時間序列運用B－J方法建模時，應運用序列的自相關與偏自相關對序列適合的模型類型進行識別，確立 p，q。

參看二次差分后的自相關序列圖，自相關系數在k=1和k=3時顯著不為0，可以考慮q=1，2，3。同理偏自相關系數在k=1和k=3時顯著不為0，可以考慮p=1，2，3。

綜上，序列 ddgdp可以建立 ARMA(1，1)或 ARMA(1，2)或 ARMA(2，1)或 ARMA(2，2)或 ARMA(3，1)或ARMA(1，3)或 ARMA(3，2)或 ARMA(2，3)或 ARMA(3，3)。經過篩選對比，將ARMA(p，q)模型的滯后多項式倒數根落入單位圓外的模型排除，僅考慮ARMA(1，2)和ARMA(2，3)。對序列 gdp 來說就是 ARIMA(1，2，2)和ARIMA(2，2，3)。

對ARIMA(1，2，2)模型建立本文通過Eviews軟件采用命令方式，在主窗口命令行輸入

ls d(gdp，2，0)ar(1)ma(1)ma(2)

這里，對參數t檢驗顯著性水平的要求并不像回歸方程中那么嚴格，更多的是考慮模型的整體擬合效果。調整后的決定系數、AIC和SC準則都是選擇模型的重要標準。

再建立 ARIMA(2，2，3)模型:

經過比較，ARIMA(2，2，3)模型t檢驗更加滿足顯著性水平，同時調整后的決定系數也大了不少，AIC和SC準則值比前面模型更小，說明這個ARIMA(2，2，3)模型是更適合的。

參數估計后，應該對ARIMA模型的適合性進行檢驗，即對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗。若殘差序列不是白噪聲序列，意味著殘差序列還存在有用信息沒被提取，需要進一步改進模型。通常側重于檢測殘差序列的隨機性，即滯后期k＞0，殘差序列的樣本自相關系數應近似為0。檢測方法可以通過觀察樣本自相關序列圖:對ARIMA(2，2，3)模型從k=8這行找到檢驗統計量Q值為1.5323，從Prob列得到值為67.5%，拒絕原假設犯錯的概率為67.5%，即殘差序列相互獨立為白噪聲的概率很大。因此檢驗通過，殘差序列是純隨機的。

從擬合回歸圖看擬合圖形的趨勢走向和幅度較為一致。

基于序列 ARIMA(2，2，3)模型我國2007—2011年GDP預測值

三、結論

本文利用ARIMA模型對我國經濟進行了預測與分析，實證分析表明，該模型對于分析及預測我國GDP是簡單而又非常有效的。從圖中MAPE項可以看出與實際值預測值(2007、2008兩年)之間誤差百分比是比較小的。另外值得注意的是，ARIMA模型一般在短期內的預測比較準確，隨著預測的延長，三年以上預測誤差相對增大，這也是ARIMA模型的一個缺陷。但盡管如此，如果在建立模型過程中不斷補充近期數據，調整和優選新模型并實現動態預測，則預測效果還可進一步提高，與其它的預測方法相比，其預測的準確度還是比較高的。同時，這里采用的Box－Jenkins建模思想，由于不需要對時間序列的發展模式作先驗的假設，方法本身又可反復識別修改，直到獲得滿意的模型，因此非常適合各種經濟時間序列，包括在辨別序列資料的典型特征十分困難和復雜情況下的預測。

［1］易丹輝．統計預測方法與應用［M］．中國統計出版社，1988.

［2］李子奈．計量經濟學［M］．北京:高等教育出版社，2000.

［3］古亞拉提．經濟計量學精要［M］．機械工業出版社，2006.

［4］易丹輝．數據分析與Eviews應用［M］．中國統計出版社，2002.