高職學生利用所學導數知識解決實際問題舉例

何艷

（太原旅游職業學院，山西 太原 030012）

高職學生利用所學導數知識解決實際問題舉例

何艷

（太原旅游職業學院，山西 太原 030012）

導數是高等數學中的重要內容，解決許多實際問題都離不開它，本文闡述了導數在實際生活以及企業經營中的幾個應用。

導數；最值問題；邊際函數

隨著國家對職業教育的重視，高職教育在我國快速發展，高職學生以其扎實的基本功，良好的動手能力，深受社會好評。高職教育的一個基本任務就是培養高級技工人才，因此培養高職學生利用所學的數學知識解決實際問題，是職業院校數學教學的一項重要任務。而且在教學中應注意與專業的結合，做到夠用、實用，為專業課服務好。本文就結合我院的專業舉例說明導數的實際應用。

一、利用導數解決旅行社收入最高問題

人們從事經營活動時，都要考慮怎樣以最小的投入得到最大的效益，這類問題在數學上常常可以歸納為求某一函數在某個區間內的最值的問題，一般均可通過分析建立恰當的函數關系式，利用導數求最值的方法來解決。

例1.某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法：達到100人的團體，每人收費1000元。如果團體的人數超過100人，那么每超過1人，每人平均收費少5元，但團體人數不能超過180人，如何組團可使旅行社的收入最多？（不到100人不組團）

解：設參加旅游的人數為x人,旅行社的收入為y元。

則y=1000x-5（x-100）x （100≤x≤180）

問題歸結為：求y=1500x-5x2在［100,180］內的最大值。

令y'=0,解得駐點x=150。

由于f（100）=100000,f（150）=112500,f（180）=108000。因此，當旅游團人數為150人時，旅行社收入最高，最高收入為112500元。

二、利用邊際函數對企業進行經濟分析及指導

對于企業經營來說，進行邊際分析是非常重要的，企業如果離開邊際分析而盲目生產，就會造成資源的巨大浪費。導數作為邊際分析的重要工具，可以給企業決策者提供客觀、準確的依據，從而作出合理的決策。

例2.某酒店加工生產某類月餅的總成本函數和總收入函數分別為C（x）=100+2x+0.02x2和R（x）=7x+0.01x2，求邊際利潤函數和當日產量分別為200公斤、250公斤和300公斤時的邊際利潤，并且說明經濟意義。

解：①總利潤函數為L（x）=R（x）-C（x）=5x-100-0.01x2

邊際利潤函數為L'（x）=5-0.02x.

②當日產量分別為200公斤、250公斤和300公斤時的邊際利潤分別為L'（200）=L'（x）│x=200=1元

其經濟意義為：當日產量分別為200公斤，再增加1公斤，則總利潤可增加1元，當日產量分別為250公斤，再增加1公斤，則總利潤無增加，當日產量分別為300公斤，再增加1公斤，則反而虧損1元。

結論：當企業的某一產品的生產量超越了邊際利潤的零點時（L'（x）=0），反而使企業無利潤。

三、利用導數解決實際生活中的問題

在日常生活中導數可以幫助我們解決許多實際問題。

例3.某人要將一個燈泡吊在半徑為r的圓桌的正上方，如圖所示，桌上任意一點受到的照度與光線的入射角的余弦值成正比，而與光源的距離的平方成反比，欲使桌子的邊緣得到最強的照度，問燈泡應掛在桌子上方多高處？

解：由圖知，桌子邊緣處的照度

通過以上例子可以看出，導數從小到日常生活大到企業經營中問題的解決都很方便，所以要求學生更加深刻地理解導數的內涵,在熟練掌握基礎知識和基本技能的基礎上，將實際問題轉化為數學模型，再用數學方法來解決。

［1］郝軍等.高等數學（文科版）［M］.西安：西北大學出版社，2003.

［2］周學勤.導數求最值與最優化［J］.呂梁教育學院學報，2008，（25）.

G718.5

A

1673-0046（2011）04-0060-02