具有p- Laplace算子的積分微分方程積分邊值問題正解的存在性

王平友, 賈 梅, 竇麗霞, 金京福

(上海理工大學理學院,上海 200093)

具有p- Laplace算子的積分微分方程積分邊值問題正解的存在性

王平友, 賈 梅, 竇麗霞, 金京福

(上海理工大學理學院,上海 200093)

研究了帶有p- Laplace算子的微分積分方程積分邊值問題正解的存在性,利用范數形式的錐拉伸與錐壓縮不動點定理,得到了邊值問題至少存在一個正解的結論.

積分邊值問題;不動點定理;正解;錐

1 問題的提出

由于邊值問題具有廣泛的應用背景,因此已被深入的研究[1],尤其對于邊值問題

其中,α,γ,β,δ≥0,并且αγ+αδ+βγ＞0,f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞))正解的存在性,許多作者對其做了大量的工作,并且獲得了上述邊值問題有解、一定為正解等結果[1-5].對于具p- Laplace算子的邊值問題正解存在性的研究,也得到了許多有意義的結果[6-11].

但是,如果邊界條件中涉及的點多于兩個,如四點邊值問題

其中,0＜ξ,η＜1,并且αγ+αδ+βγ＞0,f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)),由于其邊界條件的復雜性,即使得到其解存在,也不能保證其解一定為正解[6].

文獻[6]研究了邊值問題

其中,φp(s)=|s|p-2s,p＞1,α,β＞0,0＜ξ＜η＜1,利用范數形式的錐拉伸與錐壓縮定理,得到了邊值問題至少存在一個正解、多個正解的結論.

文獻[7]研究了邊值問題

其中,φp(s)=|s|p-2s,p＞1,α＞0,0＜ξ＜η＜1,ξ+η=1,λ＞0,利用不動點指數理論,Leray -Schauder度結合上下解方法,得到了邊值問題多個對稱正解的存在和不存在的充分條件.

本文進一步討論具p- Laplace算子的微分積分方程邊值問題

2 預備知識

考慮邊值問題

引理4設(H1)成立,則邊值問題(3)的解u具有以下性質:

a.u是嚴格凹函數;

b.u(t)≥0,t∈[0,1];

證明假設u是邊值問題(3)的解.

a.由于(φp(u′))′=-y(t)≤0,且y在(0,1)的任意子區間上不恒等于零,則φp(u′)是嚴格單調減函數,從而u′(t)也是嚴格減函數,故u(t)在0≤t≤1上是嚴格凹函數.

b.由a可得,對任意t∈[0,1],有u(t)≥min{u(0),u(1)}.不失一般性,可設u(0)=min{u(0),u(1)},則

與文獻[6]類似,可證引理6成立.

引理6T:K→K為全連續算子.

3 主要結果

由引理7得算子T在K-RK r至少存在一個不動點u,由于u是邊值問題(1)的解當且僅當u是T的不動點,故邊值問題(1)至少存在一個正解u,且r≤u≤R.

定理2設(H1)和(H2)成立,且存在常數0＜ε＜1,使得下面假設成立.

由引理7得算子T在K-RK r至少存在一個不動點u,由于u是邊值問題(1)的解當且僅當u是T的不動點,故邊值問題(1)至少存在一個正解u,且r≤u≤R.

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Existence of positive solutions of integral boundary value problems for nonlinear integro-differential equations withp- Laplacian

WANGPing-you, JIA Mei, DOULi-xia, JINJing-fu
(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The existence of positive solution of integral boundary value problems for nonlinear integro-differential equations with the one-dimensionalp- Laplacian was studied.By using the expansion and compression fixed point theorem of norm in cone,the existence of at least one positive solution for this kind of integral boundary value problems was concluded.

integral boundary value problem;fixed point theorem;positive solutions;cone

O 175.8

A

1007-6735(2011)04-0391-06

2011-01-14

上海市教育委員會科研創新基金重點資助項目(10ZZ93)

王平友(1981-),男,碩士研究生.研究方向:應用微分方程.E-mail:wpingy2008@163.com賈 梅(聯系人),女,副教授.研究方向:應用微分方程.E-mail:jiamei_usst@163.com