矩陣乘積關于廣義逆的交換律及廣義交換律

李 瑩, 高 巖, 郭文彬

(1.上海理工大學管理學院,上海 200093;2.聊城大學數學科學學院,聊城 252059)

矩陣乘積關于廣義逆的交換律及廣義交換律

李 瑩1,2, 高 巖1, 郭文彬2

(1.上海理工大學管理學院,上海 200093;2.聊城大學數學科學學院,聊城 252059)

定義了兩個矩陣乘積關于廣義逆的交換律與廣義交換律的概念,利用矩陣秩方法及奇異值分解分別研究了兩個矩陣乘積關于{1}-逆,{1,2}-逆,{1,3}-逆與{1,4}-逆的交換律與廣義交換律成立的充要條件,并對其進行了比較.

{i,j,k}-逆;群逆;廣義Schur補;秩方法;奇異值分解;交換律

1 預備知識

以Cm×n表示所有m×n復矩陣的集合.A*,r(A),R(A),N(A)分別表示矩陣A的共軛轉置、秩、值域與零空間.對于A∈C n×n,ind(A)表示A的指標,它是指滿足r(A k)=r(A k+1)的最小正整數.給定矩陣A∈Cm×n,其廣義逆G[1-2]是滿足下列4個方程中某些方程的矩陣

令?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4},用Aη表示滿足以上4個方程中的(i),(j),(k)方程的矩陣G的集合,Aη中的任何一個矩陣G稱之為矩陣A的一個{i,j,k}-逆,記為A(i,j,k).若η={1,2,3,4},則稱G為A的M-P逆,記為A+.EA=I-AA+,FA=I-A+A分別為A*,A的零空間上的正交投影.A∈C n×n的群逆[1]是指滿足下列方程的矩陣G,記為A#.

矩陣的各種類型的廣義逆在實際中都有廣泛的應用.它們在概率統計、數學規劃、控制論、測量學、博弈論和網絡理論等領域都有極其重要的作用[2-3].同時在研究最小二乘問題、長方及病態線性方程問題、馬爾可夫鏈等統計問題中也是一種基本的工具.廣義逆應用的廣泛性要求它自身理論發展不斷地充實完善.

首先,給出矩陣乘法關于廣義逆的交換律及廣義交換律的定義.

定義1設A∈C n×n,?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4}.對于X∈Aη,如果AX=XA,則稱矩陣乘法關于X滿足交換律.

定義2設A∈C n×n,?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4}.對于X,Y∈Aη,X≠Y,如果AX=YA,則稱矩陣乘法關于X與Y滿足廣義交換律.

為推導需要,給出下列引理.

引理1[1]設A∈C n×n,則下列各條等價:

2 矩陣乘法關于A(1)及A(1,j)的交換律成立的充要條件

定理1設A∈C n×n,則下列各條等價:

1.自治區級社會保險費征收機構。自治區社會保險事業局作為自治區社會保險費征收機構，為自治區人力資源和社會保障廳管理的相當副廳級全額撥款、公益一類事業單位。主要負責社會保險參保登記、費用征繳、權益記錄、社會保險待遇支付的管理；負責自治區直屬單位、中直企業、南寧鐵路局的社會保險費征收以及自治區直屬駐邕單位離休干部醫療保障業務的經辦管理工作。

a.存在A(1)∈A{1},使得AA(1)=A(1)A;

b.存在A(1,2)∈A{1,2},使得AA(1,2)=A(1,2)A;c.r(A)=r(A2);

d.ind(A)=1;

e.R(A)∩N(A)={0};

f.R(A)⊕N(A)=C n;

g.A#存在.

證明a?c 若存在A(1)∈A{1}使得AA(1)=A(1)A,則在上式兩端分別左乘A得A2A(1)=A,因而r(A2)≥r(A).同時r(A2)≤r(A).因此r(A)=r(A2).

c?ar(A)=r(A2)即ind(A)=1.由引理1知存在A#且AA#=A#A.顯然A#∈A{1}.即存在A(1)∈A{1}使得AA(1)=A(1)A.

b?c 類似于a?c.c?d?e?f?g可由引理1直接推得.

定理2設A∈C n×n.則存在A(1,3)∈A{1,3}使得A(1,3)A=AA(1,3)=AA+當且僅當

證明由于AA(1,3)=AA+對任意A(1,3)∈A{1,3}成立,關于{1,3}-逆的交換律轉化為是否存在A(1,3)使得A(1,3)A=AA+.后者等價于(A(1,3)A-AA+)=0.現計算這一極小秩.由式

(1)和式(3),得

定理3設A∈C n×n.則存在A(1,4)∈A{1,4},使得AA(1,4)=A(1,4)A=A+A當且僅當

證明由于A(1,4)A=A+A對任意A(1,4)∈A{1,4}成立,關于{1,4}-逆的交換律等價于是否存在A(1,4),使得AA(1,4)=A+A.而后者又等價于(AA(1,4)-A+A)=0.現計算這一極小秩.由式

(1)和式(4),得

文中考慮的是對某一個A(1,j),等式AA(1,j)=A(1,j)A是否成立.現研究對于X,Y∈A{1,j}且X≠Y,AX=YA成立的條件.

3 矩陣乘法關于廣義逆的廣義交換律成立的充要條件

定理4設A∈C n×n.則存在A-,A=∈A{1}使得AA-=A=A當且僅當r(A)=r(A2).

在定理1中,已經說明選擇A#∈A{1}可以使AA(1)=A(1)A.事實上,作為一般性的證明方法,只需在定理4的證明過程中令B1=B2,C1=C2,D1=D2即為定理1的證明.

定理5 設A∈C n×n.則存在X,Y∈A{1,2}使得AX=YA當且僅當r(A)=r(A2).

因而關于{1,2}-逆的廣義交換律與關于{1}-逆的廣義交換律相同.

對于{1,3}-逆,設X,Y∈A{1,3},不論X與Y是否相等,總有AX=AY=AA+,因而關于{1,3}-逆的廣義交換律等同于關于{1,3}-逆的交換律.{1,4}-逆的情形與{1,3}-逆相同.

定理7設A∈C n×n.則存在X,Y∈A{1,4}使得AX=YA當且僅當r(A,A*)=r(A2).

4 結 論

[1] BEN-ISRAEL A,GREVILE T N E.Generalized Inverses:Theory and Applications[M].New York:John Wiley&Sons,1974.

[2] 郭文彬,魏木生.奇異值分解及其在廣義逆理論中的應用[M].北京:科學出版社,2008.

[3] 王松桂,楊振海.廣義逆矩陣及其應用[M].北京:北京工業大學出版社,1996.

[4] TIAN Y G.More on maximal and minimal ranks of Schur complements with applications[J].Appl Math Comput,2004,152:675-692.

[5] TIAN Y G.Upper and lower bounds for ranks of matrix expressions using generalized inverse[J].Linear Algebra Appl,2002,355:187-214.

Commutative law and generalized commutative law of matrix multiplication on generalized inverse

LIYing1,2, GAOYan1, GUOWen-bin2
(1.Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;2.College of Mathematics Science,Liaocheng University,Liaocheng 252059,China)

The concepts of the commutative laws and generalized commutative laws of matrix multiplication on generalized inverse were defined.Using the matrix rank method and SVD,necessary and sufficient conditions about the commutative laws and generalized commutative laws of matrix multiplication on{1}-inverse,{1,2}-inverse,{1,3}-inverse and{1,4}-inverse were established respectively,and these conditions were compared between themselves.

{i,j,k}-inverse;group inverse;generalized Schur complement;matrix rank method;singular value decomposition;commutative laws

O 151.21

A

1007-6735(2011)04-0379-05

2010-04-12

國家自然科學基金資助項目(11171221)

李 瑩(1974-),女,博士研究生.研究方向:系統分析,矩陣理論.E-mail:liyingld@163.com高 巖(聯系人),男,教授.研究方向:混雜系統分析.E-mail:gaoyan@usst.edu.cn